---

Step * 1 of Lemma hyptrans-is-translation-group-fun


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. ∀[x:Point]. ∀[t,s:ℝ].  hyptrans(rv;e;t + s;x) ≡ hyptrans(rv;e;t;hyptrans(rv;e;s;x)) supposing e^2 = r1
5. x : Point
6. r : ℝ
7. h : Point
8. tau : ℝ
9. h ⋅ e = r0
10. x ≡ h + sinh(tau) * rsqrt(r1 + h^2)*e
11. a : ℝ
12. rsqrt(r1 + h^2) = a ∈ ℝ
13. r0 < a
⊢ ∃t:ℝ
   (h + sinh(tau + t) * a*e ≡ h + sinh(tau) * a*e + r*e
   ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ h + sinh(tau + y) * a*e # h + sinh(tau) * a*e + r*e)))
BY
{ (Assert ∀y:ℝ. (h + sinh(tau + y) * a*e ≡ h + sinh(tau) * a*e + r*e ⇐⇒ y = (inv-sinh(sinh(tau) + (r/a)) - tau)) BY
         Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. ∀[x:Point]. ∀[t,s:ℝ].  hyptrans(rv;e;t + s;x) ≡ hyptrans(rv;e;t;hyptrans(rv;e;s;x)) supposing e^2 = r1
5. x : Point
6. r : ℝ
7. h : Point
8. tau : ℝ
9. h ⋅ e = r0
10. x ≡ h + sinh(tau) * rsqrt(r1 + h^2)*e
11. a : ℝ
12. rsqrt(r1 + h^2) = a ∈ ℝ
13. r0 < a
14. y : ℝ
15. h + sinh(tau + y) * a*e ≡ h + sinh(tau) * a*e + r*e
⊢ y = (inv-sinh(sinh(tau) + (r/a)) - tau)

2
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. ∀[x:Point]. ∀[t,s:ℝ].  hyptrans(rv;e;t + s;x) ≡ hyptrans(rv;e;t;hyptrans(rv;e;s;x)) supposing e^2 = r1
5. x : Point
6. r : ℝ
7. h : Point
8. tau : ℝ
9. h ⋅ e = r0
10. x ≡ h + sinh(tau) * rsqrt(r1 + h^2)*e
11. a : ℝ
12. rsqrt(r1 + h^2) = a ∈ ℝ
13. r0 < a
14. y : ℝ
15. y = (inv-sinh(sinh(tau) + (r/a)) - tau)
⊢ h + sinh(tau + y) * a*e ≡ h + sinh(tau) * a*e + r*e

3
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. ∀[x:Point]. ∀[t,s:ℝ].  hyptrans(rv;e;t + s;x) ≡ hyptrans(rv;e;t;hyptrans(rv;e;s;x)) supposing e^2 = r1
5. x : Point
6. r : ℝ
7. h : Point
8. tau : ℝ
9. h ⋅ e = r0
10. x ≡ h + sinh(tau) * rsqrt(r1 + h^2)*e
11. a : ℝ
12. rsqrt(r1 + h^2) = a ∈ ℝ
13. r0 < a
14. ∀y:ℝ. (h + sinh(tau + y) * a*e ≡ h + sinh(tau) * a*e + r*e ⇐⇒ y = (inv-sinh(sinh(tau) + (r/a)) - tau))
⊢ ∃t:ℝ
   (h + sinh(tau + t) * a*e ≡ h + sinh(tau) * a*e + r*e
   ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ h + sinh(tau + y) * a*e # h + sinh(tau) * a*e + r*e)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  e\^{}2  =  r1
4.  \mforall{}[x:Point].  \mforall{}[t,s:\mBbbR{}].
          hyptrans(rv;e;t  +  s;x)  \mequiv{}  hyptrans(rv;e;t;hyptrans(rv;e;s;x))  supposing  e\^{}2  =  r1
5.  x  :  Point
6.  r  :  \mBbbR{}
7.  h  :  Point
8.  tau  :  \mBbbR{}
9.  h  \mcdot{}  e  =  r0
10.  x  \mequiv{}  h  +  sinh(tau)  *  rsqrt(r1  +  h\^{}2)*e
11.  a  :  \mBbbR{}
12.  rsqrt(r1  +  h\^{}2)  =  a
13.  r0  <  a
\mvdash{}  \mexists{}t:\mBbbR{}
      (h  +  sinh(tau  +  t)  *  a*e  \mequiv{}  h  +  sinh(tau)  *  a*e  +  r*e
      \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mneq{}  t  {}\mRightarrow{}  h  +  sinh(tau  +  y)  *  a*e  \#  h  +  sinh(tau)  *  a*e  +  r*e)))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}y:\mBbbR{}
                    (h  +  sinh(tau  +  y)  *  a*e  \mequiv{}  h  +  sinh(tau)  *  a*e  +  r*e
                    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  y  =  (inv-sinh(sinh(tau)  +  (r/a))  -  tau))  BY
              Auto)

---

Home Index