---

Step * 1 1 of Lemma hyptrans-is-translation-group-fun


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. ∀[x:Point]. ∀[t,s:ℝ].  hyptrans(rv;e;t + s;x) ≡ hyptrans(rv;e;t;hyptrans(rv;e;s;x)) supposing e^2 = r1
5. x : Point
6. r : ℝ
7. h : Point
8. tau : ℝ
9. h ⋅ e = r0
10. x ≡ h + sinh(tau) * rsqrt(r1 + h^2)*e
11. a : ℝ
12. rsqrt(r1 + h^2) = a ∈ ℝ
13. r0 < a
14. y : ℝ
15. h + sinh(tau + y) * a*e ≡ h + sinh(tau) * a*e + r*e
⊢ y = (inv-sinh(sinh(tau) + (r/a)) - tau)
BY
{ ((Assert h + sinh(tau + y) * a*e ⋅ e = h + sinh(tau) * a*e + r*e ⋅ e BY
          (RWO  "-1" 0 THEN Auto))
   THEN ((RWW "rv-ip-add rv-ip-add2 rv-ip-mul rv-ip-mul2 9 3" (-1) THENM nRNorm (-1)) THENA Auto)
   THEN (Assert sinh(tau + y) = (sinh(tau) + (r/a)) BY
               (nRMul ⌜a⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (Assert inv-sinh(sinh(tau + y)) = inv-sinh(sinh(tau) + (r/a)) BY
               (RWO  "-1<" 0 THEN Auto))
   THEN RWO "inv-sinh-sinh" (-1)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  e\^{}2  =  r1
4.  \mforall{}[x:Point].  \mforall{}[t,s:\mBbbR{}].
          hyptrans(rv;e;t  +  s;x)  \mequiv{}  hyptrans(rv;e;t;hyptrans(rv;e;s;x))  supposing  e\^{}2  =  r1
5.  x  :  Point
6.  r  :  \mBbbR{}
7.  h  :  Point
8.  tau  :  \mBbbR{}
9.  h  \mcdot{}  e  =  r0
10.  x  \mequiv{}  h  +  sinh(tau)  *  rsqrt(r1  +  h\^{}2)*e
11.  a  :  \mBbbR{}
12.  rsqrt(r1  +  h\^{}2)  =  a
13.  r0  <  a
14.  y  :  \mBbbR{}
15.  h  +  sinh(tau  +  y)  *  a*e  \mequiv{}  h  +  sinh(tau)  *  a*e  +  r*e
\mvdash{}  y  =  (inv-sinh(sinh(tau)  +  (r/a))  -  tau)


By

---

Latex:
((Assert  h  +  sinh(tau  +  y)  *  a*e  \mcdot{}  e  =  h  +  sinh(tau)  *  a*e  +  r*e  \mcdot{}  e  BY
                (RWO    "-1"  0  THEN  Auto))
  THEN  ((RWW  "rv-ip-add  rv-ip-add2  rv-ip-mul  rv-ip-mul2  9  3"  (-1)  THENM  nRNorm  (-1))  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  sinh(tau  +  y)  =  (sinh(tau)  +  (r/a))  BY
                          (nRMul  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  inv-sinh(sinh(tau  +  y))  =  inv-sinh(sinh(tau)  +  (r/a))  BY
                          (RWO    "-1<"  0  THEN  Auto))
  THEN  RWO  "inv-sinh-sinh"  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index