---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma implies-isometry-lemma1

.....aux..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : {2...}
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (||f x - f y|| ≤ r))
7. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(N) * r)) ⇒ ((r(N) * r) ≤ ||f x - f y||))
8. x : Point(rv)
9. y : Point(rv)
10. z : Point(rv)
11. y ≡ (r1/r(2))*x + z ∧ (||x - y|| = r) ∧ (||x - z|| = (r(2) * r))
12. ∀i:ℕ. (||x + (r(i)/r(2))*z - x - x + (r(i + 1)/r(2))*z - x|| = r)
13. ∀i:ℕ. (||f x + (r(i)/r(2))*z - x - f x + (r(i + 1)/r(2))*z - x|| ≤ r)
⊢ ||x + (r0/r(2))*z - x - x + (r(N)/r(2))*z - x|| = (r(N) * r)
BY
{ (RepeatFor 2 (D -3)
   THEN (Assert x + (r0/r(2))*z - x - x + (r(N)/r(2))*z - x ≡ (r(N)/r(2))*x - z BY
               (RealVecEqual THEN Auto))
   THEN RWW "-1 -4 rv-norm-mul rabs-of-nonneg" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....aux..... 
1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  f  :  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
3.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
4.  N  :  \{2...\}
5.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
6.  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  =  r)  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  \mleq{}  r))
7.  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  =  (r(N)  *  r))  {}\mRightarrow{}  ((r(N)  *  r)  \mleq{}  ||f  x  -  f  y||))
8.  x  :  Point(rv)
9.  y  :  Point(rv)
10.  z  :  Point(rv)
11.  y  \mequiv{}  (r1/r(2))*x  +  z  \mwedge{}  (||x  -  y||  =  r)  \mwedge{}  (||x  -  z||  =  (r(2)  *  r))
12.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (||x  +  (r(i)/r(2))*z  -  x  -  x  +  (r(i  +  1)/r(2))*z  -  x||  =  r)
13.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (||f  x  +  (r(i)/r(2))*z  -  x  -  f  x  +  (r(i  +  1)/r(2))*z  -  x||  \mleq{}  r)
\mvdash{}  ||x  +  (r0/r(2))*z  -  x  -  x  +  (r(N)/r(2))*z  -  x||  =  (r(N)  *  r)


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (D  -3)
  THEN  (Assert  x  +  (r0/r(2))*z  -  x  -  x  +  (r(N)/r(2))*z  -  x  \mequiv{}  (r(N)/r(2))*x  -  z  BY
                          (RealVecEqual  THEN  Auto))
  THEN  RWW  "-1  -4  rv-norm-mul  rabs-of-nonneg"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index