---

Step * 1 1 2 1 2 1 1 of Lemma implies-isometry-lemma1


1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : {2...}
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (||f x - f y|| ≤ r))
7. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(N) * r)) ⇒ ((r(N) * r) ≤ ||f x - f y||))
8. x : Point(rv)
9. y : Point(rv)
10. z : Point(rv)
11. y ≡ (r1/r(2))*x + z ∧ (||x - y|| = r) ∧ (||x - z|| = (r(2) * r))
12. ∀i:ℕ. (||x + (r(i)/r(2))*z - x - x + (r(i + 1)/r(2))*z - x|| = r)
13. ∀i:ℕ. (||f x + (r(i)/r(2))*z - x - f x + (r(i + 1)/r(2))*z - x|| ≤ r)
14. (r(N) * r) ≤ ||f x + (r0/r(2))*z - x - f x + (r(N)/r(2))*z - x||
15. p : ℕ ⟶ Point(rv)
16. ∀i:ℕ. (||p i - p (i + 1)|| ≤ r)
17. (r(N) * r) ≤ ||p 0 - p N||
⊢ (||p 0 - p 1|| = r) ∧ (||p 0 - p 2|| = (r(2) * r))
BY
{ (Assert ∀N:ℕ. (||p 0 - p N|| ≤ Σ{||p i - p (i + 1)|| | 0≤i≤N - 1}) BY
         (All Thin THEN (InductionOnNat THENA Auto))) }

1
.....aux..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. p : ℕ ⟶ Point(rv)
3. N : ℤ
⊢ ||p 0 - p 0|| ≤ Σ{||p i - p (i + 1)|| | 0≤i≤0 - 1}

2
.....aux..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. p : ℕ ⟶ Point(rv)
3. N : ℤ
4. 0 < N
5. ||p 0 - p (N - 1)|| ≤ Σ{||p i - p (i + 1)|| | 0≤i≤N - 1 - 1}
⊢ ||p 0 - p N|| ≤ Σ{||p i - p (i + 1)|| | 0≤i≤N - 1}

3
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : {2...}
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (||f x - f y|| ≤ r))
7. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(N) * r)) ⇒ ((r(N) * r) ≤ ||f x - f y||))
8. x : Point(rv)
9. y : Point(rv)
10. z : Point(rv)
11. y ≡ (r1/r(2))*x + z ∧ (||x - y|| = r) ∧ (||x - z|| = (r(2) * r))
12. ∀i:ℕ. (||x + (r(i)/r(2))*z - x - x + (r(i + 1)/r(2))*z - x|| = r)
13. ∀i:ℕ. (||f x + (r(i)/r(2))*z - x - f x + (r(i + 1)/r(2))*z - x|| ≤ r)
14. (r(N) * r) ≤ ||f x + (r0/r(2))*z - x - f x + (r(N)/r(2))*z - x||
15. p : ℕ ⟶ Point(rv)
16. ∀i:ℕ. (||p i - p (i + 1)|| ≤ r)
17. (r(N) * r) ≤ ||p 0 - p N||
18. ∀N:ℕ. (||p 0 - p N|| ≤ Σ{||p i - p (i + 1)|| | 0≤i≤N - 1})
⊢ (||p 0 - p 1|| = r) ∧ (||p 0 - p 2|| = (r(2) * r))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  f  :  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
3.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
4.  N  :  \{2...\}
5.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
6.  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  =  r)  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  \mleq{}  r))
7.  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  =  (r(N)  *  r))  {}\mRightarrow{}  ((r(N)  *  r)  \mleq{}  ||f  x  -  f  y||))
8.  x  :  Point(rv)
9.  y  :  Point(rv)
10.  z  :  Point(rv)
11.  y  \mequiv{}  (r1/r(2))*x  +  z  \mwedge{}  (||x  -  y||  =  r)  \mwedge{}  (||x  -  z||  =  (r(2)  *  r))
12.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (||x  +  (r(i)/r(2))*z  -  x  -  x  +  (r(i  +  1)/r(2))*z  -  x||  =  r)
13.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (||f  x  +  (r(i)/r(2))*z  -  x  -  f  x  +  (r(i  +  1)/r(2))*z  -  x||  \mleq{}  r)
14.  (r(N)  *  r)  \mleq{}  ||f  x  +  (r0/r(2))*z  -  x  -  f  x  +  (r(N)/r(2))*z  -  x||
15.  p  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
16.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (||p  i  -  p  (i  +  1)||  \mleq{}  r)
17.  (r(N)  *  r)  \mleq{}  ||p  0  -  p  N||
\mvdash{}  (||p  0  -  p  1||  =  r)  \mwedge{}  (||p  0  -  p  2||  =  (r(2)  *  r))


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}N:\mBbbN{}.  (||p  0  -  p  N||  \mleq{}  \mSigma{}\{||p  i  -  p  (i  +  1)||  |  0\mleq{}i\mleq{}N  -  1\})  BY
              (All  Thin  THEN  (InductionOnNat  THENA  Auto)))

---

Home Index