---

Step * 2 2 of Lemma implies-isometry-lemma1


1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : {2...}
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (||f x - f y|| ≤ r))
7. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(N) * r)) ⇒ ((r(N) * r) ≤ ||f x - f y||))
8. ∀x,y,z:Point(rv).
     ((y ≡ (r1/r(2))*x + z ∧ (||x - y|| = r) ∧ (||x - z|| = (r(2) * r)))
     ⇒ ((||f x - f y|| = r) ∧ (||f x - f z|| = (r(2) * r))))
9. x : Point(rv)
10. y : Point(rv)
11. ||x - y|| = (r(2) * r)
⊢ ||f x - f y|| = ||x - y||
BY
{ (RenameVar `z' (-2) THEN InstHyp [⌜x⌝;⌜x + (r1/r(2))*z - x⌝;⌜z⌝] (-4)⋅ THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : {2...}
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (||f x - f y|| ≤ r))
7. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(N) * r)) ⇒ ((r(N) * r) ≤ ||f x - f y||))
8. ∀x,y,z:Point(rv).
     ((y ≡ (r1/r(2))*x + z ∧ (||x - y|| = r) ∧ (||x - z|| = (r(2) * r)))
     ⇒ ((||f x - f y|| = r) ∧ (||f x - f z|| = (r(2) * r))))
9. x : Point(rv)
10. z : Point(rv)
11. ||x - z|| = (r(2) * r)
⊢ x + (r1/r(2))*z - x ≡ (r1/r(2))*x + z

2
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. r : {r:ℝ| r0 < r} 
4. N : {2...}
5. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
6. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = r) ⇒ (||f x - f y|| ≤ r))
7. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(N) * r)) ⇒ ((r(N) * r) ≤ ||f x - f y||))
8. ∀x,y,z:Point(rv).
     ((y ≡ (r1/r(2))*x + z ∧ (||x - y|| = r) ∧ (||x - z|| = (r(2) * r)))
     ⇒ ((||f x - f y|| = r) ∧ (||f x - f z|| = (r(2) * r))))
9. x : Point(rv)
10. z : Point(rv)
11. ||x - z|| = (r(2) * r)
12. x + (r1/r(2))*z - x ≡ (r1/r(2))*x + z
⊢ ||x - x + (r1/r(2))*z - x|| = r

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  f  :  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
3.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\} 
4.  N  :  \{2...\}
5.  \mforall{}x,y:Point(rv).    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y)
6.  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  =  r)  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  \mleq{}  r))
7.  \mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  =  (r(N)  *  r))  {}\mRightarrow{}  ((r(N)  *  r)  \mleq{}  ||f  x  -  f  y||))
8.  \mforall{}x,y,z:Point(rv).
          ((y  \mequiv{}  (r1/r(2))*x  +  z  \mwedge{}  (||x  -  y||  =  r)  \mwedge{}  (||x  -  z||  =  (r(2)  *  r)))
          {}\mRightarrow{}  ((||f  x  -  f  y||  =  r)  \mwedge{}  (||f  x  -  f  z||  =  (r(2)  *  r))))
9.  x  :  Point(rv)
10.  y  :  Point(rv)
11.  ||x  -  y||  =  (r(2)  *  r)
\mvdash{}  ||f  x  -  f  y||  =  ||x  -  y||


By

---

Latex:
(RenameVar  `z'  (-2)  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x  +  (r1/r(2))*z  -  x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index