---

Step * of Lemma implies-isometry-lemma5

No Annotations
∀rv:InnerProductSpace. ∀f:Point(rv) ⟶ Point(rv). ∀d:{r:ℝ| r0 < r} .
  ((∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y))
  ⇒ (∀x,y:Point(rv).  (((||x - y|| = d) ∨ (||x - y|| = (r(2) * d))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||)))
  ⇒ (∀s,r:ℝ.
        ((∃n,m:ℕ+. (s = (r(n)/r(m))))
        ⇒ (∃n,m:ℕ+. (r = (r(n)/r(m))))
        ⇒ (∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| ∈ (r * d, s * d)) ⇒ (||f x - f y|| ∈ [r * d, s * d]))))))
BY
{ (InstLemma `implies-isometry-lemma3` []
   THEN RepeatFor 3 (ParallelLast')
   THEN RepeatFor 2 (((D 0 THENA Auto) THEN ThinTrivial))
   THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. f : Point(rv) ⟶ Point(rv)
3. d : {r:ℝ| r0 < r} 
4. ∀x,y:Point(rv).  (x ≡ y ⇒ f x ≡ f y)
5. ∀x,y:Point(rv).  (((||x - y|| = d) ∨ (||x - y|| = (r(2) * d))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
6. ∀n,m:ℕ+. ∀x,y:Point(rv).  ((||x - y|| = (r(n) * d/r(m))) ⇒ (||f x - f y|| = ||x - y||))
7. s : ℝ
8. r : ℝ
9. ∃n,m:ℕ+. (s = (r(n)/r(m)))
10. ∃n,m:ℕ+. (r = (r(n)/r(m)))
11. x : Point(rv)
12. y : Point(rv)
13. ||x - y|| ∈ (r * d, s * d)
⊢ ||f x - f y|| ∈ [r * d, s * d]

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}rv:InnerProductSpace.  \mforall{}f:Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv).  \mforall{}d:\{r:\mBbbR{}|  r0  <  r\}  .
    ((\mforall{}x,y:Point(rv).    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  f  x  \mequiv{}  f  y))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:Point(rv).
                (((||x  -  y||  =  d)  \mvee{}  (||x  -  y||  =  (r(2)  *  d)))  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  =  ||x  -  y||)))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s,r:\mBbbR{}.
                ((\mexists{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (s  =  (r(n)/r(m))))
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.  (r  =  (r(n)/r(m))))
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:Point(rv).    ((||x  -  y||  \mmember{}  (r  *  d,  s  *  d))  {}\mRightarrow{}  (||f  x  -  f  y||  \mmember{}  [r  *  d,  s  *  d]))))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `implies-isometry-lemma3`  []
  THEN  RepeatFor  3  (ParallelLast')
  THEN  RepeatFor  2  (((D  0  THENA  Auto)  THEN  ThinTrivial))
  THEN  Auto)

---

Home Index