---

Step * 1 1 1 of Lemma ip-circle-circle-lemma2


1. rv : InnerProductSpace
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : Point
5. r0 < ||b||
6. (r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
7. b' : Point
8. ||b'|| = ||b||
9. b ⋅ b' = r0
10. cc : ℝ
11. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. ∀x:Point
      ((x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' ∨ x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b') ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2)))
⊢ ∃u,v:Point
   (((||u|| = r1) ∧ (||u - b|| = r2)) ∧ ((||v|| = r1) ∧ (||v - b|| = r2)) ∧ ((cc^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)) ⇒ u # v))
BY
{ ((InstHyp [⌜(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b'⌝] (-1)⋅ THENA (Auto THEN (OrLeft THEN Auto) THEN RelRST THEN Auto))
   THEN (InstHyp [⌜(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'⌝] (-2)⋅ THENA (Auto THEN (OrRight THEN Auto) THEN RelRST THEN Auto))
   THEN InstConcl [⌜(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b'⌝;⌜(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'⌝]⋅
   THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : Point
5. r0 < ||b||
6. (r1^2 - r2^2) + ||b||^2^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
7. b' : Point
8. ||b'|| = ||b||
9. b ⋅ b' = r0
10. cc : ℝ
11. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. ∀x:Point
      ((x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' ∨ x ≡ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b') ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2)))
17. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b'|| = r1
18. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' - b|| = r2
19. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'|| = r1
20. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b' - b|| = r2
21. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b'|| = r1
22. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' - b|| = r2
23. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'|| = r1
24. ||(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b' - b|| = r2
25. cc^2 < (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
⊢ (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b' # (r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b'

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
4.  b  :  Point
5.  r0  <  ||b||
6.  (r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
7.  b'  :  Point
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  b  \mcdot{}  b'  =  r0
10.  cc  :  \mBbbR{}
11.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
13.  r0  <  ||b||\^{}2
14.  v  :  \{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  ((r  *  r)  =  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2))\} 
15.  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)  =  v
16.  \mforall{}x:Point
            ((x  \mequiv{}  (r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b'  \mvee{}  x  \mequiv{}  (r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b')
            {}\mRightarrow{}  ((||x||  =  r1)  \mwedge{}  (||x  -  b||  =  r2)))
\mvdash{}  \mexists{}u,v:Point
      (((||u||  =  r1)  \mwedge{}  (||u  -  b||  =  r2))
      \mwedge{}  ((||v||  =  r1)  \mwedge{}  (||v  -  b||  =  r2))
      \mwedge{}  ((cc\^{}2  <  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2))  {}\mRightarrow{}  u  \#  v))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b'\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  (OrLeft  THEN  Auto)  THEN  RelRST  THEN  Auto)
    )
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  (OrRight  THEN  Auto)  THEN  RelRST  THEN  Auto)
              )
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  v*b'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  v*b'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index