---

Step * 1 2 1 2 2 1 1 of Lemma ip-circle-circle-lemma3


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : Point(rv)
4. c : {c:Point(rv)| a # c} 
5. r0 < ||c - a||
6. d : Point(rv)
7. p : {p:Point(rv)| (||a - b|| = ||a - p||) ∧ (||c - p|| ≤ ||c - d||)} 
8. q : {q:Point(rv)| (||c - d|| = ||c - q||) ∧ (||a - q|| ≤ ||a - b||)} 
9. ||c - p|| ≤ ||c - d||
10. ||a - q|| ≤ ||a - b||
11. r0 ≤ (||a - b|| + ||c - a||^2 + -(||c - d||^2))
12. r0 ≤ (-(||a - b|| + -(||c - a||)^2) + ||c - d||^2)
⊢ (||a - b||^2 - ||c - d||^2) + ||c - a||^2^2 ≤ (r(4) * ||c - a||^2 * ||a - b||^2)
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌜||a - b|| = r1 ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜||c - d|| = r2 ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜||c - a|| = dd ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin
   THEN Auto) }

1
1. r1 : ℝ
2. r2 : ℝ
3. dd : ℝ
4. r0 ≤ (r1 + dd^2 + -(r2^2))
5. r0 ≤ (-(r1 + -(dd)^2) + r2^2)
⊢ (r1^2 - r2^2) + dd^2^2 ≤ (r(4) * dd^2 * r1^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point(rv)
3.  b  :  Point(rv)
4.  c  :  \{c:Point(rv)|  a  \#  c\} 
5.  r0  <  ||c  -  a||
6.  d  :  Point(rv)
7.  p  :  \{p:Point(rv)|  (||a  -  b||  =  ||a  -  p||)  \mwedge{}  (||c  -  p||  \mleq{}  ||c  -  d||)\} 
8.  q  :  \{q:Point(rv)|  (||c  -  d||  =  ||c  -  q||)  \mwedge{}  (||a  -  q||  \mleq{}  ||a  -  b||)\} 
9.  ||c  -  p||  \mleq{}  ||c  -  d||
10.  ||a  -  q||  \mleq{}  ||a  -  b||
11.  r0  \mleq{}  (||a  -  b||  +  ||c  -  a||\^{}2  +  -(||c  -  d||\^{}2))
12.  r0  \mleq{}  (-(||a  -  b||  +  -(||c  -  a||)\^{}2)  +  ||c  -  d||\^{}2)
\mvdash{}  (||a  -  b||\^{}2  -  ||c  -  d||\^{}2)  +  ||c  -  a||\^{}2\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||c  -  a||\^{}2  *  ||a  -  b||\^{}2)


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||a  -  b||  =  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||c  -  d||  =  r2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||c  -  a||  =  dd\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin
  THEN  Auto)

---

Home Index