---

Step * 2 1 1 2 1 of Lemma ip-circle-circle-lemma3

.....assertion..... 
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : Point(rv)
4. c : Point(rv)
5. a # c
6. d : Point(rv)
7. p : Point(rv)
8. ||a - b|| = ||a - p||
9. ||c - p|| ≤ ||c - d||
10. q : Point(rv)
11. ||c - d|| = ||c - q||
12. ||a - q|| ≤ ||a - b||
13. r0 < ||c - a||
14. u : Point(rv)
15. v : Point(rv)
16. ||u|| = ||a - b||
17. ||u - c - a|| = ||c - d||
18. ||v|| = ||a - b||
19. ||v - c - a|| = ||c - d||
20. ∀x,y,z:Point(rv).  (||x - y|| = ||x - z|| ⇐⇒ ||z - x|| = ||x - y||)
21. ||a - q|| < ||a - b||
22. ||c - p|| < ||c - d||
23. ||c - d||^2 < ||a - b|| + ||c - a||^2
⊢ |||a - b|| - ||c - a|||^2 < ||c - d||^2
BY
{ ((BLemma `rnexp-rless` THEN Auto) THEN BLemma `rabs-difference-bound-iff` THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : Point(rv)
4. c : Point(rv)
5. a # c
6. d : Point(rv)
7. p : Point(rv)
8. ||a - b|| = ||a - p||
9. ||c - p|| ≤ ||c - d||
10. q : Point(rv)
11. ||c - d|| = ||c - q||
12. ||a - q|| ≤ ||a - b||
13. r0 < ||c - a||
14. u : Point(rv)
15. v : Point(rv)
16. ||u|| = ||a - b||
17. ||u - c - a|| = ||c - d||
18. ||v|| = ||a - b||
19. ||v - c - a|| = ||c - d||
20. ∀x,y,z:Point(rv).  (||x - y|| = ||x - z|| ⇐⇒ ||z - x|| = ||x - y||)
21. ||a - q|| < ||a - b||
22. ||c - p|| < ||c - d||
23. ||c - d||^2 < ||a - b|| + ||c - a||^2
⊢ (||c - a|| - ||c - d||) < ||a - b||

2
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : Point(rv)
4. c : Point(rv)
5. a # c
6. d : Point(rv)
7. p : Point(rv)
8. ||a - b|| = ||a - p||
9. ||c - p|| ≤ ||c - d||
10. q : Point(rv)
11. ||c - d|| = ||c - q||
12. ||a - q|| ≤ ||a - b||
13. r0 < ||c - a||
14. u : Point(rv)
15. v : Point(rv)
16. ||u|| = ||a - b||
17. ||u - c - a|| = ||c - d||
18. ||v|| = ||a - b||
19. ||v - c - a|| = ||c - d||
20. ∀x,y,z:Point(rv).  (||x - y|| = ||x - z|| ⇐⇒ ||z - x|| = ||x - y||)
21. ||a - q|| < ||a - b||
22. ||c - p|| < ||c - d||
23. ||c - d||^2 < ||a - b|| + ||c - a||^2
24. (||c - a|| - ||c - d||) < ||a - b||
⊢ ||a - b|| < (||c - a|| + ||c - d||)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point(rv)
3.  b  :  Point(rv)
4.  c  :  Point(rv)
5.  a  \#  c
6.  d  :  Point(rv)
7.  p  :  Point(rv)
8.  ||a  -  b||  =  ||a  -  p||
9.  ||c  -  p||  \mleq{}  ||c  -  d||
10.  q  :  Point(rv)
11.  ||c  -  d||  =  ||c  -  q||
12.  ||a  -  q||  \mleq{}  ||a  -  b||
13.  r0  <  ||c  -  a||
14.  u  :  Point(rv)
15.  v  :  Point(rv)
16.  ||u||  =  ||a  -  b||
17.  ||u  -  c  -  a||  =  ||c  -  d||
18.  ||v||  =  ||a  -  b||
19.  ||v  -  c  -  a||  =  ||c  -  d||
20.  \mforall{}x,y,z:Point(rv).    (||x  -  y||  =  ||x  -  z||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ||z  -  x||  =  ||x  -  y||)
21.  ||a  -  q||  <  ||a  -  b||
22.  ||c  -  p||  <  ||c  -  d||
23.  ||c  -  d||\^{}2  <  ||a  -  b||  +  ||c  -  a||\^{}2
\mvdash{}  |||a  -  b||  -  ||c  -  a|||\^{}2  <  ||c  -  d||\^{}2


By

---

Latex:
((BLemma  `rnexp-rless`  THEN  Auto)  THEN  BLemma  `rabs-difference-bound-iff`  THEN  Auto)

---

Home Index