---

Step * 2 1 1 2 2 1 1 of Lemma ip-circle-circle-lemma3


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : Point(rv)
4. c : Point(rv)
5. a # c
6. d : Point(rv)
7. p : Point(rv)
8. ||a - b|| = ||a - p||
9. ||c - p|| ≤ ||c - d||
10. q : Point(rv)
11. ||c - d|| = ||c - q||
12. ||a - q|| ≤ ||a - b||
13. r0 < ||c - a||
14. u : Point(rv)
15. v : Point(rv)
16. ||u|| = ||a - b||
17. ||u - c - a|| = ||c - d||
18. ||v|| = ||a - b||
19. ||v - c - a|| = ||c - d||
20. ∀x,y,z:Point(rv).  (||x - y|| = ||x - z|| ⇐⇒ ||z - x|| = ||x - y||)
21. ||a - q|| < ||a - b||
22. ||c - p|| < ||c - d||
23. r0 < (||a - b|| + ||c - a||^2 + -(||c - d||^2))
24. r0 < (-(||a - b|| + -(||c - a||)^2) + ||c - d||^2)
⊢ (||a - b||^2 - ||c - d||^2) + ||c - a||^2^2 < (r(4) * ||c - a||^2 * ||a - b||^2)
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN (GenConcl ⌜||a - b|| = r1 ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜||c - d|| = r2 ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜||c - a|| = dd ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin
   THEN Auto) }

1
1. r1 : ℝ
2. r2 : ℝ
3. dd : ℝ
4. r0 < (r1 + dd^2 + -(r2^2))
5. r0 < (-(r1 + -(dd)^2) + r2^2)
⊢ (r1^2 - r2^2) + dd^2^2 < (r(4) * dd^2 * r1^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point(rv)
3.  b  :  Point(rv)
4.  c  :  Point(rv)
5.  a  \#  c
6.  d  :  Point(rv)
7.  p  :  Point(rv)
8.  ||a  -  b||  =  ||a  -  p||
9.  ||c  -  p||  \mleq{}  ||c  -  d||
10.  q  :  Point(rv)
11.  ||c  -  d||  =  ||c  -  q||
12.  ||a  -  q||  \mleq{}  ||a  -  b||
13.  r0  <  ||c  -  a||
14.  u  :  Point(rv)
15.  v  :  Point(rv)
16.  ||u||  =  ||a  -  b||
17.  ||u  -  c  -  a||  =  ||c  -  d||
18.  ||v||  =  ||a  -  b||
19.  ||v  -  c  -  a||  =  ||c  -  d||
20.  \mforall{}x,y,z:Point(rv).    (||x  -  y||  =  ||x  -  z||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ||z  -  x||  =  ||x  -  y||)
21.  ||a  -  q||  <  ||a  -  b||
22.  ||c  -  p||  <  ||c  -  d||
23.  r0  <  (||a  -  b||  +  ||c  -  a||\^{}2  +  -(||c  -  d||\^{}2))
24.  r0  <  (-(||a  -  b||  +  -(||c  -  a||)\^{}2)  +  ||c  -  d||\^{}2)
\mvdash{}  (||a  -  b||\^{}2  -  ||c  -  d||\^{}2)  +  ||c  -  a||\^{}2\^{}2  <  (r(4)  *  ||c  -  a||\^{}2  *  ||a  -  b||\^{}2)


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||a  -  b||  =  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||c  -  d||  =  r2\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||c  -  a||  =  dd\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin
  THEN  Auto)

---

Home Index