---

Step * 1 of Lemma separable-translation-group_iff


1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. T : ℝ ⟶ Point(rv) ⟶ Point(rv)
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. separable-translation-group(rv;e;T)
⊢ (∀a:ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .  (a ≠ r0 ⇒ (r0 < ||T_a(h) - h||)))
∧ (∀a,b:ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .
     (a ≠ r0 ⇒ b ≠ r0 ⇒ ((||T_a(h) - h||/||T_b(h) - h||) = (||T_a(0)||/||T_b(0)||))))
BY
{ (D -1
   THEN (FLemma `separable-kernel-iff` [-1] THENA (Auto THEN BLemma `trans-kernel-is-kernel-fun` THEN Auto))
   THEN ExRepD) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. T : ℝ ⟶ Point(rv) ⟶ Point(rv)
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. translation-group-fun(rv;e;T)
6. separable-kernel(rv;e;λh,t. ρ(h;t))
7. phi : ℝ ⟶ ℝ
8. psi : {h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ {r:ℝ| r0 < r} 
9. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t:ℝ.  (((λh,t. ρ(h;t)) h t) = ((phi t) * (psi h)))
10. (phi r0) = r0
11. (psi 0) = r1
12. ∀t,s:ℝ.  ((t < s) ⇒ ((phi t) < (phi s)))
13. ∀t:ℝ. ∃s:ℝ. ((phi s) = t)
14. ∀h1,h2:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .  (psi h1 ≠ psi h2 ⇒ h1 # h2)
15. ∀t,s:ℝ.  (phi t ≠ phi s ⇒ t ≠ s)
⊢ (∀a:ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .  (a ≠ r0 ⇒ (r0 < ||T_a(h) - h||)))
∧ (∀a,b:ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .
     (a ≠ r0 ⇒ b ≠ r0 ⇒ ((||T_a(h) - h||/||T_b(h) - h||) = (||T_a(0)||/||T_b(0)||))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  \{e:Point(rv)|  e\^{}2  =  r1\} 
3.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
4.  translation-group-fun(rv;e;T)
5.  separable-translation-group(rv;e;T)
\mvdash{}  (\mforall{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .    (a  \mneq{}  r0  {}\mRightarrow{}  (r0  <  ||T\_a(h)  -  h||)))
\mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbR{}.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .
          (a  \mneq{}  r0  {}\mRightarrow{}  b  \mneq{}  r0  {}\mRightarrow{}  ((||T\_a(h)  -  h||/||T\_b(h)  -  h||)  =  (||T\_a(0)||/||T\_b(0)||))))


By

---

Latex:
(D  -1
  THEN  (FLemma  `separable-kernel-iff`  [-1]
              THENA  (Auto  THEN  BLemma  `trans-kernel-is-kernel-fun`  THEN  Auto)
              )
  THEN  ExRepD)

---

Home Index