---

Step * 1 1 of Lemma trans-apply-0


1. rv : InnerProductSpace
2. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
3. e : Point
4. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
5. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T (t + s) x ≡ T t (T s x)
6. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T t x ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T y x # x + r*e)))
7. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T t x ≡ x + r*e
8. x : Point
9. translation-group-fun(rv;e;T)
10. t : ℝ
11. T t x ≡ x
12. ∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T y x # x + r0*e)
13. x + r0*e ≡ x
14. T (t + t) x ≡ T t (T t x)
⊢ T_r0(x) ≡ x
BY
{ (All (Fold `trans-apply`) THEN (RWO  "-4" (-1) THENA Auto)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
3. e : Point
4. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T_s(x) # T_t(y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
5. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
6. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r*e)))
7. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
8. x : Point
9. translation-group-fun(rv;e;T)
10. t : ℝ
11. T_t(x) ≡ x
12. ∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r0*e)
13. x + r0*e ≡ x
14. T_t + t(x) ≡ T_t(x)
⊢ T_r0(x) ≡ x

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
3.  e  :  Point
4.  \mforall{}s,t:\mBbbR{}.  \mforall{}x,y:Point.    (T  s  x  \#  T  t  y  {}\mRightarrow{}  (x  \#  y  \mvee{}  s  \mneq{}  t))
5.  \mforall{}t,s:\mBbbR{}.  \mforall{}x:Point.    T  (t  +  s)  x  \mequiv{}  T  t  (T  s  x)
6.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  (T  t  x  \mequiv{}  x  +  r*e  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mneq{}  t  {}\mRightarrow{}  T  y  x  \#  x  +  r*e)))
7.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .    \mexists{}r:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .  T  t  x  \mequiv{}  x  +  r*e
8.  x  :  Point
9.  translation-group-fun(rv;e;T)
10.  t  :  \mBbbR{}
11.  T  t  x  \mequiv{}  x
12.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mneq{}  t  {}\mRightarrow{}  T  y  x  \#  x  +  r0*e)
13.  x  +  r0*e  \mequiv{}  x
14.  T  (t  +  t)  x  \mequiv{}  T  t  (T  t  x)
\mvdash{}  T\_r0(x)  \mequiv{}  x


By

---

Latex:
(All  (Fold  `trans-apply`)  THEN  (RWO    "-4"  (-1)  THENA  Auto))

---

Home Index