---

Step * 1 of Lemma trans-apply-sep


1. rv : InnerProductSpace
2. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
3. e : Point
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. x : Point
6. t1 : ℝ
7. t2 : ℝ
8. t1 ≠ t2
9. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
10. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T (t + s) x ≡ T t (T s x)
11. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T t x ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T y x # x + r*e)))
12. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T t x ≡ x + r*e
13. t : ℝ
14. T t T_t1(x) ≡ T_t1(x)
15. ∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T y T_t1(x) # T_t1(x))
⊢ T_t2(x) # T_t1(x)
BY
{ (Assert r0 = t BY
         ((BLemma `not-rneq` THENA Auto)
          THEN (D 0 THENA Auto)
          THEN (FHyp (-2) [-1] THENA Auto)
          THEN Fold `trans-apply` (-1)
          THEN (RWO "trans-apply-0" (-1) THENA Auto)
          THEN MoveToConcl (-1)
          THEN Fold `not` 0
          THEN Fold `ss-eq` 0
          THEN Auto)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
3. e : Point
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. x : Point
6. t1 : ℝ
7. t2 : ℝ
8. t1 ≠ t2
9. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T s x # T t y ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
10. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T (t + s) x ≡ T t (T s x)
11. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T t x ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T y x # x + r*e)))
12. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T t x ≡ x + r*e
13. t : ℝ
14. T t T_t1(x) ≡ T_t1(x)
15. ∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T y T_t1(x) # T_t1(x))
16. r0 = t
⊢ T_t2(x) # T_t1(x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
3.  e  :  Point
4.  translation-group-fun(rv;e;T)
5.  x  :  Point
6.  t1  :  \mBbbR{}
7.  t2  :  \mBbbR{}
8.  t1  \mneq{}  t2
9.  \mforall{}s,t:\mBbbR{}.  \mforall{}x,y:Point.    (T  s  x  \#  T  t  y  {}\mRightarrow{}  (x  \#  y  \mvee{}  s  \mneq{}  t))
10.  \mforall{}t,s:\mBbbR{}.  \mforall{}x:Point.    T  (t  +  s)  x  \mequiv{}  T  t  (T  s  x)
11.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  (T  t  x  \mequiv{}  x  +  r*e  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mneq{}  t  {}\mRightarrow{}  T  y  x  \#  x  +  r*e)))
12.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .    \mexists{}r:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .  T  t  x  \mequiv{}  x  +  r*e
13.  t  :  \mBbbR{}
14.  T  t  T\_t1(x)  \mequiv{}  T\_t1(x)
15.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mneq{}  t  {}\mRightarrow{}  T  y  T\_t1(x)  \#  T\_t1(x))
\mvdash{}  T\_t2(x)  \#  T\_t1(x)


By

---

Latex:
(Assert  r0  =  t  BY
              ((BLemma  `not-rneq`  THENA  Auto)
                THEN  (D  0  THENA  Auto)
                THEN  (FHyp  (-2)  [-1]  THENA  Auto)
                THEN  Fold  `trans-apply`  (-1)
                THEN  (RWO  "trans-apply-0"  (-1)  THENA  Auto)
                THEN  MoveToConcl  (-1)
                THEN  Fold  `not`  0
                THEN  Fold  `ss-eq`  0
                THEN  Auto))

---

Home Index