---

Step * of Lemma trans-from-kernel-sep

∀rv:InnerProductSpace. ∀e:{e:Point| e^2 = r1} . ∀f,g:{h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ.
  (trans-kernel-fun(rv;e;f)
  ⇒ (∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r))
  ⇒ (∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (trans-from-kernel(rv;e;f;g;s;x) # trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))))
BY
{ (RepeatFor 7 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (InstLemma `kernel-fun-properties` [⌜rv⌝;⌜e⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN FoldTop `guard` 0
   THEN ExRepD
   THEN RepeatFor 2 (Thin (-1))
   THEN (D -1 With ⌜g⌝  THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((D -1 THENA Auto))
   THEN D 5
   THEN (Assert e^2 = r1 BY
               (DVar `e' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN PromoteHyp (-1) 5) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. e^2 = r1
6. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
7. (∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0))
∧ (∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2))))
∧ (∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
9. s : ℝ
10. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
11. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
12. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
⊢ ∀t:ℝ. ∀x,y:Point.  (trans-from-kernel(rv;e;f;g;s;x) # trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}rv:InnerProductSpace.  \mforall{}e:\{e:Point|  e\^{}2  =  r1\}  .  \mforall{}f,g:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    (trans-kernel-fun(rv;e;f)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s,t:\mBbbR{}.  \mforall{}x,y:Point.
                (trans-from-kernel(rv;e;f;g;s;x)  \#  trans-from-kernel(rv;e;f;g;t;y)  {}\mRightarrow{}  (x  \#  y  \mvee{}  s  \mneq{}  t))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  7  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (InstLemma  `kernel-fun-properties`  [\mkleeneopen{}rv\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  FoldTop  `guard`  0
  THEN  ExRepD
  THEN  RepeatFor  2  (Thin  (-1))
  THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((D  -1  THENA  Auto))
  THEN  D  5
  THEN  (Assert  e\^{}2  =  r1  BY
                          (DVar  `e'  THEN  Unhide  THEN  Auto))
  THEN  PromoteHyp  (-1)  5)

---

Home Index