---

Step * 1 of Lemma trans-kernel-equation


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
5. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T_s(x) # T_t(y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
6. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
7. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r*e)))
8. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
9. t : ℝ
10. h : Point
11. h ⋅ e = r0
⊢ T_t(h) ≡ h + ρ(h;t)*e
BY
{ (StableCases ⌜r0 < t⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
5. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T_s(x) # T_t(y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
6. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
7. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r*e)))
8. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
9. t : ℝ
10. h : Point
11. h ⋅ e = r0
12. r0 < t
⊢ T_t(h) ≡ h + ρ(h;t)*e

2
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. e^2 = r1
4. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
5. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T_s(x) # T_t(y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
6. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
7. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (y ≠ t ⇒ T_y(x) # x + r*e)))
8. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
9. t : ℝ
10. h : Point
11. h ⋅ e = r0
12. ¬(r0 < t)
⊢ T_t(h) ≡ h + ρ(h;t)*e

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  e\^{}2  =  r1
4.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
5.  \mforall{}s,t:\mBbbR{}.  \mforall{}x,y:Point.    (T\_s(x)  \#  T\_t(y)  {}\mRightarrow{}  (x  \#  y  \mvee{}  s  \mneq{}  t))
6.  \mforall{}t,s:\mBbbR{}.  \mforall{}x:Point.    T\_t  +  s(x)  \mequiv{}  T\_t(T\_s(x))
7.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  (T\_t(x)  \mequiv{}  x  +  r*e  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  (y  \mneq{}  t  {}\mRightarrow{}  T\_y(x)  \#  x  +  r*e)))
8.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .    \mexists{}r:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .  T\_t(x)  \mequiv{}  x  +  r*e
9.  t  :  \mBbbR{}
10.  h  :  Point
11.  h  \mcdot{}  e  =  r0
\mvdash{}  T\_t(h)  \mequiv{}  h  +  \mrho{}(h;t)*e


By

---

Latex:
(StableCases  \mkleeneopen{}r0  <  t\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index