---

Step * 1 of Lemma translation-group-point


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. x1 : Point ⟶ Point
6. x2 : Point ⟶ Point
7. ∀x:Point. x1 (x2 x) ≡ x
8. ∀x:Point. x2 (x1 x) ≡ x
9. ∀x,y:Point.  (x1 x # x1 y ⇒ x # y)
10. ∀x,y:Point.  (x2 x # x2 y ⇒ x # y)
11. t : ℝ
12. ∀x@0:Point. x1 x@0 ≡ T t x@0
13. ∀x:Point. x1 x ≡ T t x
14. x : Point
⊢ x2 x ≡ T -(t) x
BY
{ ((Assert T_-(t)(x1 (x2 x)) ≡ T_-(t)(x) BY
          (RWO "7" 0 THEN Auto))
   THEN Fold `trans-apply` (-3)
   THEN (RWO "-3" (-1) THENA Auto)) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. x1 : Point ⟶ Point
6. x2 : Point ⟶ Point
7. ∀x:Point. x1 (x2 x) ≡ x
8. ∀x:Point. x2 (x1 x) ≡ x
9. ∀x,y:Point.  (x1 x # x1 y ⇒ x # y)
10. ∀x,y:Point.  (x2 x # x2 y ⇒ x # y)
11. t : ℝ
12. ∀x@0:Point. x1 x@0 ≡ T t x@0
13. ∀x:Point. x1 x ≡ T_t(x)
14. x : Point
15. T_-(t)(T_t(x2 x)) ≡ T_-(t)(x)
⊢ x2 x ≡ T -(t) x

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
4.  translation-group-fun(rv;e;T)
5.  x1  :  Point  {}\mrightarrow{}  Point
6.  x2  :  Point  {}\mrightarrow{}  Point
7.  \mforall{}x:Point.  x1  (x2  x)  \mequiv{}  x
8.  \mforall{}x:Point.  x2  (x1  x)  \mequiv{}  x
9.  \mforall{}x,y:Point.    (x1  x  \#  x1  y  {}\mRightarrow{}  x  \#  y)
10.  \mforall{}x,y:Point.    (x2  x  \#  x2  y  {}\mRightarrow{}  x  \#  y)
11.  t  :  \mBbbR{}
12.  \mforall{}x@0:Point.  x1  x@0  \mequiv{}  T  t  x@0
13.  \mforall{}x:Point.  x1  x  \mequiv{}  T  t  x
14.  x  :  Point
\mvdash{}  x2  x  \mequiv{}  T  -(t)  x


By

---

Latex:
((Assert  T\_-(t)(x1  (x2  x))  \mequiv{}  T\_-(t)(x)  BY
                (RWO  "7"  0  THEN  Auto))
  THEN  Fold  `trans-apply`  (-3)
  THEN  (RWO  "-3"  (-1)  THENA  Auto))

---

Home Index