---

Step * 2 1 1 of Lemma translation-group_wf


1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T_s(x) # T_t(y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
5. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
6. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (T_y(x) ≡ x + r*e ⇒ (y = t))))
7. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
8. translation-group-fun(rv;e;T)
9. f1 : Point ⟶ Point
10. f2 : Point ⟶ Point
11. ∀x:Point. f1 (f2 x) ≡ x
12. ∀x:Point. f2 (f1 x) ≡ x
13. ∀x,y:Point.  (f1 x # f1 y ⇒ x # y)
14. ∀x,y:Point.  (f2 x # f2 y ⇒ x # y)
15. t : ℝ
16. ∀x@0:Point. f1 x@0 ≡ T_t(x@0)
17. p : Point
18. f1 T_-(t)(p) ≡ T_t(T_-(t)(p))
⊢ f2 p ≡ T_-(t)(p)
BY
{ ((Assert T_t(T_-(t)(p)) ≡ p BY
          ((RWO "5<" 0 THENA Auto) THEN nRNorm 0 THEN Auto THEN BLemma `trans-apply-0` THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" (-2) THENA Auto)
   ) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : Point
3. T : ℝ ⟶ Point ⟶ Point
4. ∀s,t:ℝ. ∀x,y:Point.  (T_s(x) # T_t(y) ⇒ (x # y ∨ s ≠ t))
5. ∀t,s:ℝ. ∀x:Point.  T_t + s(x) ≡ T_t(T_s(x))
6. ∀x:Point. ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. (T_t(x) ≡ x + r*e ∧ (∀y:ℝ. (T_y(x) ≡ x + r*e ⇒ (y = t))))
7. ∀x:Point. ∀t:{t:ℝ| r0 ≤ t} .  ∃r:{t:ℝ| r0 ≤ t} . T_t(x) ≡ x + r*e
8. translation-group-fun(rv;e;T)
9. f1 : Point ⟶ Point
10. f2 : Point ⟶ Point
11. ∀x:Point. f1 (f2 x) ≡ x
12. ∀x:Point. f2 (f1 x) ≡ x
13. ∀x,y:Point.  (f1 x # f1 y ⇒ x # y)
14. ∀x,y:Point.  (f2 x # f2 y ⇒ x # y)
15. t : ℝ
16. ∀x@0:Point. f1 x@0 ≡ T_t(x@0)
17. p : Point
18. f1 T_-(t)(p) ≡ p
19. T_t(T_-(t)(p)) ≡ p
⊢ f2 p ≡ T_-(t)(p)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  Point
3.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point  {}\mrightarrow{}  Point
4.  \mforall{}s,t:\mBbbR{}.  \mforall{}x,y:Point.    (T\_s(x)  \#  T\_t(y)  {}\mRightarrow{}  (x  \#  y  \mvee{}  s  \mneq{}  t))
5.  \mforall{}t,s:\mBbbR{}.  \mforall{}x:Point.    T\_t  +  s(x)  \mequiv{}  T\_t(T\_s(x))
6.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  (T\_t(x)  \mequiv{}  x  +  r*e  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  (T\_y(x)  \mequiv{}  x  +  r*e  {}\mRightarrow{}  (y  =  t))))
7.  \mforall{}x:Point.  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .    \mexists{}r:\{t:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  t\}  .  T\_t(x)  \mequiv{}  x  +  r*e
8.  translation-group-fun(rv;e;T)
9.  f1  :  Point  {}\mrightarrow{}  Point
10.  f2  :  Point  {}\mrightarrow{}  Point
11.  \mforall{}x:Point.  f1  (f2  x)  \mequiv{}  x
12.  \mforall{}x:Point.  f2  (f1  x)  \mequiv{}  x
13.  \mforall{}x,y:Point.    (f1  x  \#  f1  y  {}\mRightarrow{}  x  \#  y)
14.  \mforall{}x,y:Point.    (f2  x  \#  f2  y  {}\mRightarrow{}  x  \#  y)
15.  t  :  \mBbbR{}
16.  \mforall{}x@0:Point.  f1  x@0  \mequiv{}  T\_t(x@0)
17.  p  :  Point
18.  f1  T\_-(t)(p)  \mequiv{}  T\_t(T\_-(t)(p))
\mvdash{}  f2  p  \mequiv{}  T\_-(t)(p)


By

---

Latex:
((Assert  T\_t(T\_-(t)(p))  \mequiv{}  p  BY
                ((RWO  "5<"  0  THENA  Auto)  THEN  nRNorm  0  THEN  Auto  THEN  BLemma  `trans-apply-0`  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  (-2)  THENA  Auto)
  )

---

Home Index