---

Step * 1 1 1 1 of Lemma path-comp-fun


1. [T] : Type
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
4. f : Point(Path(T ⟶ B))
5. g : Point(Path(T ⟶ B))
6. f@r1 ≡ g@r0
7. ∀x:T. (λt.(f t x) ∈ Point(Path(B)))
8. ∀x:T. (λt.(g t x) ∈ Point(Path(B)))
9. ∀x:T. ∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;λt.(f t x);λt.(g t x);h)
10. H : x:T ⟶ Point(Path(B))
11. ∀x:T. path-comp-rel(B;λt.(f t x);λt.(g t x);H x)
12. λt,x. (H x t) ∈ Point(Path(T ⟶ B))
13. [r0, (r1/r(2))] ⊆ [r0, r1] 
14. [(r1/r(2)), r1] ⊆ [r0, r1] 
⊢ path-comp-rel(T ⟶ B;f;g;λt,x. (H x t))
BY
{ ((RepeatFor 2 (D 0) THENA Auto) THEN (RWO "fun-ss-eq" 0 THEN Auto) THEN Reduce 0) }

1
1. T : Type
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
4. f : Point(Path(T ⟶ B))
5. g : Point(Path(T ⟶ B))
6. f@r1 ≡ g@r0
7. ∀x:T. (λt.(f t x) ∈ Point(Path(B)))
8. ∀x:T. (λt.(g t x) ∈ Point(Path(B)))
9. ∀x:T. ∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;λt.(f t x);λt.(g t x);h)
10. H : x:T ⟶ Point(Path(B))
11. ∀x:T. path-comp-rel(B;λt.(f t x);λt.(g t x);H x)
12. λt,x. (H x t) ∈ Point(Path(T ⟶ B))
13. [r0, (r1/r(2))] ⊆ [r0, r1] 
14. [(r1/r(2)), r1] ⊆ [r0, r1] 
15. t : {x:ℝ| x ∈ [r0, (r1/r(2))]} 
16. a : T
⊢ λt,x. (H x t)@t a ≡ f@r(2) * t a

2
1. T : Type
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
4. f : Point(Path(T ⟶ B))
5. g : Point(Path(T ⟶ B))
6. f@r1 ≡ g@r0
7. ∀x:T. (λt.(f t x) ∈ Point(Path(B)))
8. ∀x:T. (λt.(g t x) ∈ Point(Path(B)))
9. ∀x:T. ∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;λt.(f t x);λt.(g t x);h)
10. H : x:T ⟶ Point(Path(B))
11. ∀x:T. path-comp-rel(B;λt.(f t x);λt.(g t x);H x)
12. λt,x. (H x t) ∈ Point(Path(T ⟶ B))
13. [r0, (r1/r(2))] ⊆ [r0, r1] 
14. [(r1/r(2)), r1] ⊆ [r0, r1] 
15. t : {x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} 
⊢ (r(2) * t) - r1 ∈ {t:ℝ| (r0 ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} 

3
1. T : Type
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
4. f : Point(Path(T ⟶ B))
5. g : Point(Path(T ⟶ B))
6. f@r1 ≡ g@r0
7. ∀x:T. (λt.(f t x) ∈ Point(Path(B)))
8. ∀x:T. (λt.(g t x) ∈ Point(Path(B)))
9. ∀x:T. ∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;λt.(f t x);λt.(g t x);h)
10. H : x:T ⟶ Point(Path(B))
11. ∀x:T. path-comp-rel(B;λt.(f t x);λt.(g t x);H x)
12. λt,x. (H x t) ∈ Point(Path(T ⟶ B))
13. [r0, (r1/r(2))] ⊆ [r0, r1] 
14. [(r1/r(2)), r1] ⊆ [r0, r1] 
15. t : {x:ℝ| x ∈ [(r1/r(2)), r1]} 
16. a : T
⊢ λt,x. (H x t)@t a ≡ g@(r(2) * t) - r1 a

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
4.  f  :  Point(Path(T  {}\mrightarrow{}  B))
5.  g  :  Point(Path(T  {}\mrightarrow{}  B))
6.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
7.  \mforall{}x:T.  (\mlambda{}t.(f  t  x)  \mmember{}  Point(Path(B)))
8.  \mforall{}x:T.  (\mlambda{}t.(g  t  x)  \mmember{}  Point(Path(B)))
9.  \mforall{}x:T.  \mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;\mlambda{}t.(f  t  x);\mlambda{}t.(g  t  x);h)
10.  H  :  x:T  {}\mrightarrow{}  Point(Path(B))
11.  \mforall{}x:T.  path-comp-rel(B;\mlambda{}t.(f  t  x);\mlambda{}t.(g  t  x);H  x)
12.  \mlambda{}t,x.  (H  x  t)  \mmember{}  Point(Path(T  {}\mrightarrow{}  B))
13.  [r0,  (r1/r(2))]  \msubseteq{}  [r0,  r1] 
14.  [(r1/r(2)),  r1]  \msubseteq{}  [r0,  r1] 
\mvdash{}  path-comp-rel(T  {}\mrightarrow{}  B;f;g;\mlambda{}t,x.  (H  x  t))


By

---

Latex:
((RepeatFor  2  (D  0)  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "fun-ss-eq"  0  THEN  Auto)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index