---

Step * 1 of Lemma path-comp-prod


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A × B))@i
6. g : Point(Path(A × B))@i
7. f@r1 ≡ g@r0
⊢ ∃h:Point(Path(A × B)). path-comp-rel(A × B;f;g;h)
BY
{ (Assert ((λt.(fst(f@t)) ∈ Point(Path(A))) ∧ (λt.(fst(g@t)) ∈ Point(Path(A))))
         ∧ (λt.(snd(f@t)) ∈ Point(Path(B)))
         ∧ (λt.(snd(g@t)) ∈ Point(Path(B))) BY
         (Auto
          THEN (All (RWO "path-ss-point") THENA Auto)
          THEN (All  (RWO  "prod-ss-point") THENA Auto)
          THEN All (Unfold `path-at`)
          THEN DSetVars
          THEN MemTypeCD
          THEN Reduce 0
          THEN Auto)) }

1
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} .
     (f r1 ≡ g r0
     ⇒ (∃h:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
          path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} .
     (f r1 ≡ g r0
     ⇒ (∃h:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
          path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ (Point(A) × Point(B))@i
6. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
7. g : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ (Point(A) × Point(B))@i
8. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ g t ≡ g t')
9. f r1 ≡ g r0
10. t : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} @i
11. t' : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} @i
12. t ≡ t'
⊢ fst((f t)) ≡ fst((f t'))

2
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} .
     (f r1 ≡ g r0
     ⇒ (∃h:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
          path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} .
     (f r1 ≡ g r0
     ⇒ (∃h:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
          path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ (Point(A) × Point(B))@i
6. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
7. g : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ (Point(A) × Point(B))@i
8. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ g t ≡ g t')
9. f r1 ≡ g r0
10. λt.(fst((f t))) ∈ {f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| 
                       ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
11. t : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} @i
12. t' : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} @i
13. t ≡ t'
⊢ fst((g t)) ≡ fst((g t'))

3
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} .
     (f r1 ≡ g r0
     ⇒ (∃h:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
          path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} .
     (f r1 ≡ g r0
     ⇒ (∃h:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
          path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ (Point(A) × Point(B))@i
6. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
7. g : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ (Point(A) × Point(B))@i
8. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ g t ≡ g t')
9. f r1 ≡ g r0
10. λt.(fst((f t))) ∈ {f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| 
                       ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
11. λt.(fst((g t))) ∈ {f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| 
                       ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
12. t : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} @i
13. t' : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} @i
14. t ≡ t'
⊢ snd((f t)) ≡ snd((f t'))

4
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} .
     (f r1 ≡ g r0
     ⇒ (∃h:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
          path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} .
     (f r1 ≡ g r0
     ⇒ (∃h:{f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
          path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ (Point(A) × Point(B))@i
6. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')
7. g : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ (Point(A) × Point(B))@i
8. ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ g t ≡ g t')
9. f r1 ≡ g r0
10. λt.(fst((f t))) ∈ {f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| 
                       ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
11. λt.(fst((g t))) ∈ {f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(A)| 
                       ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
12. λt.(snd((f t))) ∈ {f:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)}  ⟶ Point(B)| 
                       ∀t,t':{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} .  (t ≡ t' ⇒ f t ≡ f t')} 
13. t : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} @i
14. t' : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} @i
15. t ≡ t'
⊢ snd((g t)) ≡ snd((g t'))

5
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A × B))@i
6. g : Point(Path(A × B))@i
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ((λt.(fst(f@t)) ∈ Point(Path(A))) ∧ (λt.(fst(g@t)) ∈ Point(Path(A))))
∧ (λt.(snd(f@t)) ∈ Point(Path(B)))
∧ (λt.(snd(g@t)) ∈ Point(Path(B)))
⊢ ∃h:Point(Path(A × B)). path-comp-rel(A × B;f;g;h)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  \mtimes{}  B))@i
6.  g  :  Point(Path(A  \mtimes{}  B))@i
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
\mvdash{}  \mexists{}h:Point(Path(A  \mtimes{}  B)).  path-comp-rel(A  \mtimes{}  B;f;g;h)


By

---

Latex:
(Assert  ((\mlambda{}t.(fst(f@t))  \mmember{}  Point(Path(A)))  \mwedge{}  (\mlambda{}t.(fst(g@t))  \mmember{}  Point(Path(A))))
              \mwedge{}  (\mlambda{}t.(snd(f@t))  \mmember{}  Point(Path(B)))
              \mwedge{}  (\mlambda{}t.(snd(g@t))  \mmember{}  Point(Path(B)))  BY
              (Auto
                THEN  (All  (RWO  "path-ss-point")  THENA  Auto)
                THEN  (All    (RWO    "prod-ss-point")  THENA  Auto)
                THEN  All  (Unfold  `path-at`)
                THEN  DSetVars
                THEN  MemTypeCD
                THEN  Reduce  0
                THEN  Auto))

---

Home Index