---

Step * 1 1 of Lemma path-comp-union


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))
9. λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A))
10. ∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(g@x))
11. λx.outl(g x) ∈ Point(Path(A))
⊢ λx.outl(f x)@r1 ≡ λx.outl(g x)@r0
BY
{ (RepUR ``path-at`` 0
   THEN Fold `path-at` 0
   THEN ((Assert ↑isl(f@r1) BY Auto) THEN MoveToConcl (-1))
   THEN (Assert ↑isl(g@r0) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN MoveToConcl (-5)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜f@r1⌝;⌜g@r0⌝]⋅
   THEN All Thin
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN RepUR ``ss-point union-ss mk-ss`` -3
   THEN RepUR ``ss-point union-ss mk-ss`` -2
   THEN D -3
   THEN D -2
   THEN Reduce 0
   THEN RepUR ``ss-eq ss-sep union-ss mk-ss union-sep`` -1
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(f@x))
9.  \mlambda{}x.outl(f  x)  \mmember{}  Point(Path(A))
10.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(g@x))
11.  \mlambda{}x.outl(g  x)  \mmember{}  Point(Path(A))
\mvdash{}  \mlambda{}x.outl(f  x)@r1  \mequiv{}  \mlambda{}x.outl(g  x)@r0


By

---

Latex:
(RepUR  ``path-at``  0
  THEN  Fold  `path-at`  0
  THEN  ((Assert  \muparrow{}isl(f@r1)  BY  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1))
  THEN  (Assert  \muparrow{}isl(g@r0)  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-5)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}f@r1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g@r0\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  All  Thin
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``ss-point  union-ss  mk-ss``  -3
  THEN  RepUR  ``ss-point  union-ss  mk-ss``  -2
  THEN  D  -3
  THEN  D  -2
  THEN  Reduce  0
  THEN  RepUR  ``ss-eq  ss-sep  union-ss  mk-ss  union-sep``  -1
  THEN  Auto)

---

Home Index