---

Step * 3 of Lemma path-comp-union


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isl(f@x))) ∧ (λx.outl(f x) ∈ Point(Path(A)))
9. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))) ∧ (λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B)))
⊢ ∃h:Point(Path(A + B)). path-comp-rel(A + B;f;g;h)
BY
{ (Assert ⌜False⌝⋅
   THEN Auto
   THEN ((Assert ↑isl(f@r1) BY Auto) THEN MoveToConcl (-1))
   THEN (Assert ↑isr(g@r0) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN MoveToConcl (-5)
   THEN GenConclTerms Auto [⌜f@r1⌝;⌜g@r0⌝]⋅
   THEN All Thin
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. v : Point(A + B)
4. v1 : Point(A + B)
5. v ≡ v1
⊢ (↑isr(v1)) ⇒ (↑isl(v)) ⇒ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isl(f@x)))  \mwedge{}  (\mlambda{}x.outl(f  x)  \mmember{}  Point(Path(A)))
9.  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(g@x)))  \mwedge{}  (\mlambda{}x.outr(g  x)  \mmember{}  Point(Path(B)))
\mvdash{}  \mexists{}h:Point(Path(A  +  B)).  path-comp-rel(A  +  B;f;g;h)


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  ((Assert  \muparrow{}isl(f@r1)  BY  Auto)  THEN  MoveToConcl  (-1))
  THEN  (Assert  \muparrow{}isr(g@r0)  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  MoveToConcl  (-5)
  THEN  GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}f@r1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g@r0\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  All  Thin
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index