---

Step * 4 of Lemma path-comp-union


1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B)))
9. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))) ∧ (λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B)))
⊢ ∃h:Point(Path(A + B)). path-comp-rel(A + B;f;g;h)
BY
{ InstHyp [⌜λx.outr(f x)⌝;⌜λx.outr(g x)⌝] 4⋅ }

1
.....wf..... 
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B)))
9. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))) ∧ (λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B)))
⊢ λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B))

2
.....wf..... 
1. A : SeparationSpace
2. B : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B)))
9. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))) ∧ (λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B)))
⊢ λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B))

3
.....antecedent..... 
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B)))
9. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))) ∧ (λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B)))
⊢ λx.outr(f x)@r1 ≡ λx.outr(g x)@r0

4
1. [A] : SeparationSpace
2. [B] : SeparationSpace
3. ∀f,g:Point(Path(A)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(A)). path-comp-rel(A;f;g;h)))
4. ∀f,g:Point(Path(B)).  (f@r1 ≡ g@r0 ⇒ (∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;f;g;h)))
5. f : Point(Path(A + B))
6. g : Point(Path(A + B))
7. f@r1 ≡ g@r0
8. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(f@x))) ∧ (λx.outr(f x) ∈ Point(Path(B)))
9. (∀x:{x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} . (↑isr(g@x))) ∧ (λx.outr(g x) ∈ Point(Path(B)))
10. ∃h:Point(Path(B)). path-comp-rel(B;λx.outr(f x);λx.outr(g x);h)
⊢ ∃h:Point(Path(A + B)). path-comp-rel(A + B;f;g;h)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  SeparationSpace
2.  [B]  :  SeparationSpace
3.  \mforall{}f,g:Point(Path(A)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(A)).  path-comp-rel(A;f;g;h)))
4.  \mforall{}f,g:Point(Path(B)).    (f@r1  \mequiv{}  g@r0  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:Point(Path(B)).  path-comp-rel(B;f;g;h)))
5.  f  :  Point(Path(A  +  B))
6.  g  :  Point(Path(A  +  B))
7.  f@r1  \mequiv{}  g@r0
8.  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(f@x)))  \mwedge{}  (\mlambda{}x.outr(f  x)  \mmember{}  Point(Path(B)))
9.  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\}  .  (\muparrow{}isr(g@x)))  \mwedge{}  (\mlambda{}x.outr(g  x)  \mmember{}  Point(Path(B)))
\mvdash{}  \mexists{}h:Point(Path(A  +  B)).  path-comp-rel(A  +  B;f;g;h)


By

---

Latex:
InstHyp  [\mkleeneopen{}\mlambda{}x.outr(f  x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}x.outr(g  x)\mkleeneclose{}]  4\mcdot{}

---

Home Index