---

Step * 1 2 1 of Lemma path-end-mem-basic


1. X : SeparationSpace
2. f : Point(Path(X))
3. B : (Point(X ⟶ ℝ) × ℝ) List
4. ∀i:ℕ||B||. let f@0,r = B[i] in f@0(f@r1) < r
5. ∀g:Point(X ⟶ ℝ). ∀r:ℝ.  ((g(f@r1) < r) ⇒ (∃z:{z:ℝ| z ∈ [r0, r1)} . ∀t:{t:ℝ| t ∈ [z, r1]} . (g(f@t) < r)))
⊢ ∃z:{z:ℝ| (r0 ≤ z) ∧ (z < r1)} . ∀t:{t:ℝ| (z ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} . ∀i:ℕ||B||.  let f@0,r = B[i] in f@0(f@t) < r
BY
{ (Assert ∀i:ℕ||B||. ∃z:{z:ℝ| z ∈ [r0, r1)} . ∀t:{t:ℝ| (z ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} . let g,r = B[i] in g(f@t) < r BY
         (ParallelOp 4
          THEN MoveToConcl (-1)
          THEN (GenConclTerm ⌜B[i]⌝⋅ THENA Auto)
          THEN D -2
          THEN Reduce 0
          THEN Auto
          THEN InstHyp [⌜v1⌝;⌜v2⌝] 5⋅
          THEN Auto)) }

1
1. X : SeparationSpace
2. f : Point(Path(X))
3. B : (Point(X ⟶ ℝ) × ℝ) List
4. ∀i:ℕ||B||. let f@0,r = B[i] in f@0(f@r1) < r
5. ∀g:Point(X ⟶ ℝ). ∀r:ℝ.  ((g(f@r1) < r) ⇒ (∃z:{z:ℝ| z ∈ [r0, r1)} . ∀t:{t:ℝ| t ∈ [z, r1]} . (g(f@t) < r)))
6. ∀i:ℕ||B||. ∃z:{z:ℝ| z ∈ [r0, r1)} . ∀t:{t:ℝ| (z ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} . let g,r = B[i] in g(f@t) < r
⊢ ∃z:{z:ℝ| (r0 ≤ z) ∧ (z < r1)} . ∀t:{t:ℝ| (z ≤ t) ∧ (t ≤ r1)} . ∀i:ℕ||B||.  let f@0,r = B[i] in f@0(f@t) < r

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  SeparationSpace
2.  f  :  Point(Path(X))
3.  B  :  (Point(X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{})  \mtimes{}  \mBbbR{})  List
4.  \mforall{}i:\mBbbN{}||B||.  let  f@0,r  =  B[i]  in  f@0(f@r1)  <  r
5.  \mforall{}g:Point(X  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}).  \mforall{}r:\mBbbR{}.
          ((g(f@r1)  <  r)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}z:\{z:\mBbbR{}|  z  \mmember{}  [r0,  r1)\}  .  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [z,  r1]\}  .  (g(f@t)  <  r)))
\mvdash{}  \mexists{}z:\{z:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (z  <  r1)\} 
      \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  (z  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r1)\}  .  \mforall{}i:\mBbbN{}||B||.    let  f@0,r  =  B[i]  in  f@0(f@t)  <  r


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}i:\mBbbN{}||B||
                    \mexists{}z:\{z:\mBbbR{}|  z  \mmember{}  [r0,  r1)\}  .  \mforall{}t:\{t:\mBbbR{}|  (z  \mleq{}  t)  \mwedge{}  (t  \mleq{}  r1)\}  .  let  g,r  =  B[i]  in  g(f@t)  <  r  BY
              (ParallelOp  4
                THEN  MoveToConcl  (-1)
                THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}B[i]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  D  -2
                THEN  Reduce  0
                THEN  Auto
                THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v2\mkleeneclose{}]  5\mcdot{}
                THEN  Auto))

---

Home Index