---

Step * 1 1 of Lemma face-lattice-hom-unique


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f0 : T ⟶ Point(L)
6. f1 : T ⟶ Point(L)
7. g : Point(face-lattice(T;eq)) ⟶ Point(L)
8. ∀[a,b:Point(face-lattice(T;eq))].  ((g a ∧ g b = (g a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (g a ∨ g b = (g a ∨ b) ∈ Point(L)))
9. (g 0) = 0 ∈ Point(L)
10. (g 1) = 1 ∈ Point(L)
11. h : Point(face-lattice(T;eq)) ⟶ Point(L)
12. ∀[a,b:Point(face-lattice(T;eq))].  ((h a ∧ h b = (h a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (h a ∨ h b = (h a ∨ b) ∈ Point(L)))
13. (h 0) = 0 ∈ Point(L)
14. (h 1) = 1 ∈ Point(L)
15. ∀x:T. (g (x=0) ∧ g (x=1) = 0 ∈ Point(L))
16. ∀x:T. ((g (x=0)) = (h (x=0)) ∈ Point(L))
17. ∀x:T. ((g (x=1)) = (h (x=1)) ∈ Point(L))
18. x : Point(face-lattice(T;eq))
⊢ (g x) = (h x) ∈ Point(L)
BY
{ ((InstLemma `fl-point` [⌜T⌝;⌜eq⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜x
                   = y
                   ∈ {ac:fset(fset(T + T))| 
                      (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
                      ∧ (∀a:fset(T + T). (a ∈ ac ⇒ (∀z:T. (¬(inl z ∈ a ∧ inr z  ∈ a)))))} ⌝⋅
         THENA Auto
         )
   THEN ThinVar `x'
   THEN (Assert y ∈ Point(face-lattice(T;eq)) BY
               Auto)
   THEN Thin (-3)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. f0 : T ⟶ Point(L)
6. f1 : T ⟶ Point(L)
7. g : Point(face-lattice(T;eq)) ⟶ Point(L)
8. ∀[a,b:Point(face-lattice(T;eq))].  ((g a ∧ g b = (g a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (g a ∨ g b = (g a ∨ b) ∈ Point(L)))
9. (g 0) = 0 ∈ Point(L)
10. (g 1) = 1 ∈ Point(L)
11. h : Point(face-lattice(T;eq)) ⟶ Point(L)
12. ∀[a,b:Point(face-lattice(T;eq))].  ((h a ∧ h b = (h a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (h a ∨ h b = (h a ∨ b) ∈ Point(L)))
13. (h 0) = 0 ∈ Point(L)
14. (h 1) = 1 ∈ Point(L)
15. ∀x:T. (g (x=0) ∧ g (x=1) = 0 ∈ Point(L))
16. ∀x:T. ((g (x=0)) = (h (x=0)) ∈ Point(L))
17. ∀x:T. ((g (x=1)) = (h (x=1)) ∈ Point(L))
18. y : {ac:fset(fset(T + T))| 
         (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
         ∧ (∀a:fset(T + T). (a ∈ ac ⇒ (∀z:T. (¬(inl z ∈ a ∧ inr z  ∈ a)))))} 
19. y ∈ Point(face-lattice(T;eq))
⊢ (g y) = (h y) ∈ Point(L)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  L  :  BoundedDistributiveLattice
4.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
5.  f0  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
6.  f1  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
7.  g  :  Point(face-lattice(T;eq))  {}\mrightarrow{}  Point(L)
8.  \mforall{}[a,b:Point(face-lattice(T;eq))].    ((g  a  \mwedge{}  g  b  =  (g  a  \mwedge{}  b))  \mwedge{}  (g  a  \mvee{}  g  b  =  (g  a  \mvee{}  b)))
9.  (g  0)  =  0
10.  (g  1)  =  1
11.  h  :  Point(face-lattice(T;eq))  {}\mrightarrow{}  Point(L)
12.  \mforall{}[a,b:Point(face-lattice(T;eq))].    ((h  a  \mwedge{}  h  b  =  (h  a  \mwedge{}  b))  \mwedge{}  (h  a  \mvee{}  h  b  =  (h  a  \mvee{}  b)))
13.  (h  0)  =  0
14.  (h  1)  =  1
15.  \mforall{}x:T.  (g  (x=0)  \mwedge{}  g  (x=1)  =  0)
16.  \mforall{}x:T.  ((g  (x=0))  =  (h  (x=0)))
17.  \mforall{}x:T.  ((g  (x=1))  =  (h  (x=1)))
18.  x  :  Point(face-lattice(T;eq))
\mvdash{}  (g  x)  =  (h  x)


By

---

Latex:
((InstLemma  `fl-point`  [\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}eq\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}x  =  y\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ThinVar  `x'
  THEN  (Assert  y  \mmember{}  Point(face-lattice(T;eq))  BY
                          Auto)
  THEN  Thin  (-3))

---

Home Index