---

Step * 1 of Lemma face-lattice-le


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : {ac:fset(fset(T + T))| 
        (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
        ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))} 
4. y : {ac:fset(fset(T + T))| 
        (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
        ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))} 
5. x ≤ y ⇒ fset-ac-le(union-deq(T;T;eq;eq);x;y)
6. x ≤ y ⇐ fset-ac-le(union-deq(T;T;eq;eq);x;y)
7. ∀s:fset(T + T). (s ∈ x ⇒ (↓∃t:fset(T + T). (t ∈ y ∧ t ⊆ s)))
⊢ fset-ac-le(union-deq(T;T;eq;eq);x;y)
BY
{ (Unfold `fset-ac-le` 0
   THEN (InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T + T)⌝;⌜deq-fset(union-deq(T;T;eq;eq))⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO  "-1" 0 THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN Thin (-3)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : {ac:fset(fset(T + T))| 
        (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
        ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))} 
4. y : {ac:fset(fset(T + T))| 
        (↑fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
        ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))} 
5. x ≤ y ⇒ fset-ac-le(union-deq(T;T;eq;eq);x;y)
6. x ≤ y ⇐ fset-ac-le(union-deq(T;T;eq;eq);x;y)
7. ∀s:fset(T + T). (s ∈ x ⇒ (↓∃t:fset(T + T). (t ∈ y ∧ t ⊆ s)))
8. x1 : fset(T + T)
9. x1 ∈ x
⊢ ↑¬bfset-null({y ∈ y | deq-f-subset(union-deq(T;T;eq;eq)) y x1})

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  x  :  \{ac:fset(fset(T  +  T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
                \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))\} 
4.  y  :  \{ac:fset(fset(T  +  T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(union-deq(T;T;eq;eq);ac))
                \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(union-deq(T;T;eq;eq);a;x.face-lattice-constraints(x)))\} 
5.  x  \mleq{}  y  {}\mRightarrow{}  fset-ac-le(union-deq(T;T;eq;eq);x;y)
6.  x  \mleq{}  y  \mLeftarrow{}{}  fset-ac-le(union-deq(T;T;eq;eq);x;y)
7.  \mforall{}s:fset(T  +  T).  (s  \mmember{}  x  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}t:fset(T  +  T).  (t  \mmember{}  y  \mwedge{}  t  \msubseteq{}  s)))
\mvdash{}  fset-ac-le(union-deq(T;T;eq;eq);x;y)


By

---

Latex:
(Unfold  `fset-ac-le`  0
  THEN  (InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T  +  T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(union-deq(T;T;eq;eq))\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  Thin  (-3))

---

Home Index