---

Step * 1 1 1 1 of Lemma free-dist-lattice-hom-unique2


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. g : Point(free-dist-lattice(T; eq)) ⟶ Point(L)
6. ∀[a,b:Point(free-dist-lattice(T; eq))].  ((g a ∧ g b = (g a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (g a ∨ g b = (g a ∨ b) ∈ Point(L)))
7. (g 0) = 0 ∈ Point(L)
8. (g 1) = 1 ∈ Point(L)
9. h : Point(free-dist-lattice(T; eq)) ⟶ Point(L)
10. ∀[a,b:Point(free-dist-lattice(T; eq))].  ((h a ∧ h b = (h a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (h a ∨ h b = (h a ∨ b) ∈ Point(L)))
11. (h 0) = 0 ∈ Point(L)
12. (h 1) = 1 ∈ Point(L)
13. ∀x:T. ((g free-dl-inc(x)) = (h free-dl-inc(x)) ∈ Point(L))
14. x : fset(fset(T))
15. ↑fset-antichain(eq;x)
16. x ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq))
⊢ (g \/(λs./\(λx.free-dl-inc(x)"(s))"(x))) = (h \/(λs./\(λx.free-dl-inc(x)"(s))"(x))) ∈ Point(L)
BY
{ Assert ⌜BoundedDistributiveLattice ⊆r BoundedLattice⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. g : Point(free-dist-lattice(T; eq)) ⟶ Point(L)
6. ∀[a,b:Point(free-dist-lattice(T; eq))].  ((g a ∧ g b = (g a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (g a ∨ g b = (g a ∨ b) ∈ Point(L)))
7. (g 0) = 0 ∈ Point(L)
8. (g 1) = 1 ∈ Point(L)
9. h : Point(free-dist-lattice(T; eq)) ⟶ Point(L)
10. ∀[a,b:Point(free-dist-lattice(T; eq))].  ((h a ∧ h b = (h a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (h a ∨ h b = (h a ∨ b) ∈ Point(L)))
11. (h 0) = 0 ∈ Point(L)
12. (h 1) = 1 ∈ Point(L)
13. ∀x:T. ((g free-dl-inc(x)) = (h free-dl-inc(x)) ∈ Point(L))
14. x : fset(fset(T))
15. ↑fset-antichain(eq;x)
16. x ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq))
⊢ BoundedDistributiveLattice ⊆r BoundedLattice

2
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. L : BoundedDistributiveLattice
4. eqL : EqDecider(Point(L))
5. g : Point(free-dist-lattice(T; eq)) ⟶ Point(L)
6. ∀[a,b:Point(free-dist-lattice(T; eq))].  ((g a ∧ g b = (g a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (g a ∨ g b = (g a ∨ b) ∈ Point(L)))
7. (g 0) = 0 ∈ Point(L)
8. (g 1) = 1 ∈ Point(L)
9. h : Point(free-dist-lattice(T; eq)) ⟶ Point(L)
10. ∀[a,b:Point(free-dist-lattice(T; eq))].  ((h a ∧ h b = (h a ∧ b) ∈ Point(L)) ∧ (h a ∨ h b = (h a ∨ b) ∈ Point(L)))
11. (h 0) = 0 ∈ Point(L)
12. (h 1) = 1 ∈ Point(L)
13. ∀x:T. ((g free-dl-inc(x)) = (h free-dl-inc(x)) ∈ Point(L))
14. x : fset(fset(T))
15. ↑fset-antichain(eq;x)
16. x ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq))
17. BoundedDistributiveLattice ⊆r BoundedLattice
⊢ (g \/(λs./\(λx.free-dl-inc(x)"(s))"(x))) = (h \/(λs./\(λx.free-dl-inc(x)"(s))"(x))) ∈ Point(L)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  L  :  BoundedDistributiveLattice
4.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
5.  g  :  Point(free-dist-lattice(T;  eq))  {}\mrightarrow{}  Point(L)
6.  \mforall{}[a,b:Point(free-dist-lattice(T;  eq))].    ((g  a  \mwedge{}  g  b  =  (g  a  \mwedge{}  b))  \mwedge{}  (g  a  \mvee{}  g  b  =  (g  a  \mvee{}  b)))
7.  (g  0)  =  0
8.  (g  1)  =  1
9.  h  :  Point(free-dist-lattice(T;  eq))  {}\mrightarrow{}  Point(L)
10.  \mforall{}[a,b:Point(free-dist-lattice(T;  eq))].    ((h  a  \mwedge{}  h  b  =  (h  a  \mwedge{}  b))  \mwedge{}  (h  a  \mvee{}  h  b  =  (h  a  \mvee{}  b)))
11.  (h  0)  =  0
12.  (h  1)  =  1
13.  \mforall{}x:T.  ((g  free-dl-inc(x))  =  (h  free-dl-inc(x)))
14.  x  :  fset(fset(T))
15.  \muparrow{}fset-antichain(eq;x)
16.  x  \mmember{}  Point(free-dist-lattice(T;  eq))
\mvdash{}  (g  \mbackslash{}/(\mlambda{}s./\mbackslash{}(\mlambda{}x.free-dl-inc(x)"(s))"(x)))  =  (h  \mbackslash{}/(\mlambda{}s./\mbackslash{}(\mlambda{}x.free-dl-inc(x)"(s))"(x)))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}BoundedDistributiveLattice  \msubseteq{}r  BoundedLattice\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index