---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma free-dl-basis


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : Point(free-dist-lattice(T; eq))
4. ∀s:fset(T). ({s} ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq)))
5. x ∈ fset(fset(T))
6. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
7. ∀[x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq))]. x@0 ≤ \/(λs.{s}"(x)) supposing x@0 ∈ λs.{s}"(x)
8. ∀[u:Point(free-dist-lattice(T; eq))]
     ((∀x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (x@0 ∈ λs.{s}"(x) ⇒ x@0 ≤ u)) ⇒ \/(λs.{s}"(x)) ≤ u)
9. z : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
10. ↓∃x1:fset(T). (x1 ∈ x ∧ (z = {x1} ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq))))
⊢ fset-ac-le(eq;z;x)
BY
{ (Unfold `fset-ac-le` 0
   THEN Using [`eq',⌜deq-fset(eq)⌝] (BLemma `fset-all-iff`)⋅
   THEN Auto
   THEN ExRepD
   THEN (RWO "free-dl-point" (-3) THENA Auto)
   THEN (HypSubst' (-3) (-1) THENA Auto)
   THEN (RWO "member-fset-singleton" (-1) THENA Auto)
   THEN (HypSubst' (-1) 0 THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (Thin (-1))) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : Point(free-dist-lattice(T; eq))
4. ∀s:fset(T). ({s} ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq)))
5. x ∈ fset(fset(T))
6. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
7. ∀[x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq))]. x@0 ≤ \/(λs.{s}"(x)) supposing x@0 ∈ λs.{s}"(x)
8. ∀[u:Point(free-dist-lattice(T; eq))]
     ((∀x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (x@0 ∈ λs.{s}"(x) ⇒ x@0 ≤ u)) ⇒ \/(λs.{s}"(x)) ≤ u)
9. z : {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
10. x1 : fset(T)
11. x1 ∈ x
12. z = {x1} ∈ {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
⊢ ¬↑fset-null({y ∈ x | deq-f-subset(eq) y x1})

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  x  :  Point(free-dist-lattice(T;  eq))
4.  \mforall{}s:fset(T).  (\{s\}  \mmember{}  Point(free-dist-lattice(T;  eq)))
5.  x  \mmember{}  fset(fset(T))
6.  deq-fset(deq-fset(eq))  \mmember{}  EqDecider(Point(free-dist-lattice(T;  eq)))
7.  \mforall{}[x@0:Point(free-dist-lattice(T;  eq))].  x@0  \mleq{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  supposing  x@0  \mmember{}  \mlambda{}s.\{s\}"(x)
8.  \mforall{}[u:Point(free-dist-lattice(T;  eq))]
          ((\mforall{}x@0:Point(free-dist-lattice(T;  eq)).  (x@0  \mmember{}  \mlambda{}s.\{s\}"(x)  {}\mRightarrow{}  x@0  \mleq{}  u))  {}\mRightarrow{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  \mleq{}  u)
9.  z  :  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
10.  \mdownarrow{}\mexists{}x1:fset(T).  (x1  \mmember{}  x  \mwedge{}  (z  =  \{x1\}))
\mvdash{}  fset-ac-le(eq;z;x)


By

---

Latex:
(Unfold  `fset-ac-le`  0
  THEN  Using  [`eq',\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]  (BLemma  `fset-all-iff`)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  (RWO  "free-dl-point"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  (HypSubst'  (-3)  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "member-fset-singleton"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (HypSubst'  (-1)  0  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (Thin  (-1)))

---

Home Index