---

Step * 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 of Lemma free-dl-basis


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : Point(free-dist-lattice(T; eq))
4. ∀s:fset(T). ({s} ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq)))
5. x ∈ fset(fset(T))
6. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
7. ∀[x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq))]. x@0 ≤ \/(λs.{s}"(x)) supposing x@0 ∈ λs.{s}"(x)
8. ∀[u:Point(free-dist-lattice(T; eq))]
     ((∀x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (x@0 ∈ λs.{s}"(x) ⇒ x@0 ≤ u)) ⇒ \/(λs.{s}"(x)) ≤ u)
9. \/(λs.{s}"(x)) ≤ x
10. \/(λs.{s}"(x)) ∈ {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
11. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff({x ∈ s | P[x]} = {} ∈ fset(fset(T));¬(∃x:fset(T). (x ∈ s ∧ (↑P[x]))))
12. b : fset(T)
13. b ∈ \/(λs.{s}"(x))
14. ∀x:fset(fset(T)). (\/(λs.{s}"(x)) ∈ fset(fset(T)))
15. ∀p:Point(free-dist-lattice(T; eq)). ∀b:fset(T).  (b ∈ p ∈ ℙ)
16. X : fset(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
17. x1 : Point(free-dist-lattice(T; eq))
18. ∀a:fset(T). (a ∈ \/(X) ⇒ (↓∃p:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (p ∈ X ∧ a ∈ p)))
19. ¬x1 ∈ X
20. a : fset(T)
21. a ∈ \/(fset-add(deq-fset(deq-fset(eq));x1;X))
⊢ ↓∃p:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (p ∈ fset-add(deq-fset(deq-fset(eq));x1;X) ∧ a ∈ p)
BY
{ (Subst' fset-add(deq-fset(deq-fset(eq));x1;X) = {x1} ⋃ X ∈ fset(Point(free-dist-lattice(T; eq))) -1 THENA Auto) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. x : Point(free-dist-lattice(T; eq))
4. ∀s:fset(T). ({s} ∈ Point(free-dist-lattice(T; eq)))
5. x ∈ fset(fset(T))
6. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
7. ∀[x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq))]. x@0 ≤ \/(λs.{s}"(x)) supposing x@0 ∈ λs.{s}"(x)
8. ∀[u:Point(free-dist-lattice(T; eq))]
     ((∀x@0:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (x@0 ∈ λs.{s}"(x) ⇒ x@0 ≤ u)) ⇒ \/(λs.{s}"(x)) ≤ u)
9. \/(λs.{s}"(x)) ≤ x
10. \/(λs.{s}"(x)) ∈ {ac:fset(fset(T))| ↑fset-antichain(eq;ac)} 
11. ∀[P:fset(T) ⟶ 𝔹]. ∀[s:fset(fset(T))].  uiff({x ∈ s | P[x]} = {} ∈ fset(fset(T));¬(∃x:fset(T). (x ∈ s ∧ (↑P[x]))))
12. b : fset(T)
13. b ∈ \/(λs.{s}"(x))
14. ∀x:fset(fset(T)). (\/(λs.{s}"(x)) ∈ fset(fset(T)))
15. ∀p:Point(free-dist-lattice(T; eq)). ∀b:fset(T).  (b ∈ p ∈ ℙ)
16. X : fset(Point(free-dist-lattice(T; eq)))
17. x1 : Point(free-dist-lattice(T; eq))
18. ∀a:fset(T). (a ∈ \/(X) ⇒ (↓∃p:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (p ∈ X ∧ a ∈ p)))
19. ¬x1 ∈ X
20. a : fset(T)
21. a ∈ \/({x1} ⋃ X)
⊢ ↓∃p:Point(free-dist-lattice(T; eq)). (p ∈ fset-add(deq-fset(deq-fset(eq));x1;X) ∧ a ∈ p)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  x  :  Point(free-dist-lattice(T;  eq))
4.  \mforall{}s:fset(T).  (\{s\}  \mmember{}  Point(free-dist-lattice(T;  eq)))
5.  x  \mmember{}  fset(fset(T))
6.  deq-fset(deq-fset(eq))  \mmember{}  EqDecider(Point(free-dist-lattice(T;  eq)))
7.  \mforall{}[x@0:Point(free-dist-lattice(T;  eq))].  x@0  \mleq{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  supposing  x@0  \mmember{}  \mlambda{}s.\{s\}"(x)
8.  \mforall{}[u:Point(free-dist-lattice(T;  eq))]
          ((\mforall{}x@0:Point(free-dist-lattice(T;  eq)).  (x@0  \mmember{}  \mlambda{}s.\{s\}"(x)  {}\mRightarrow{}  x@0  \mleq{}  u))  {}\mRightarrow{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  \mleq{}  u)
9.  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  \mleq{}  x
10.  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  \mmember{}  \{ac:fset(fset(T))|  \muparrow{}fset-antichain(eq;ac)\} 
11.  \mforall{}[P:fset(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}].  \mforall{}[s:fset(fset(T))].
            uiff(\{x  \mmember{}  s  |  P[x]\}  =  \{\};\mneg{}(\mexists{}x:fset(T).  (x  \mmember{}  s  \mwedge{}  (\muparrow{}P[x]))))
12.  b  :  fset(T)
13.  b  \mmember{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))
14.  \mforall{}x:fset(fset(T)).  (\mbackslash{}/(\mlambda{}s.\{s\}"(x))  \mmember{}  fset(fset(T)))
15.  \mforall{}p:Point(free-dist-lattice(T;  eq)).  \mforall{}b:fset(T).    (b  \mmember{}  p  \mmember{}  \mBbbP{})
16.  X  :  fset(Point(free-dist-lattice(T;  eq)))
17.  x1  :  Point(free-dist-lattice(T;  eq))
18.  \mforall{}a:fset(T).  (a  \mmember{}  \mbackslash{}/(X)  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}p:Point(free-dist-lattice(T;  eq)).  (p  \mmember{}  X  \mwedge{}  a  \mmember{}  p)))
19.  \mneg{}x1  \mmember{}  X
20.  a  :  fset(T)
21.  a  \mmember{}  \mbackslash{}/(fset-add(deq-fset(deq-fset(eq));x1;X))
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}p:Point(free-dist-lattice(T;  eq)).  (p  \mmember{}  fset-add(deq-fset(deq-fset(eq));x1;X)  \mwedge{}  a  \mmember{}  p)


By

---

Latex:
(Subst'  fset-add(deq-fset(deq-fset(eq));x1;X)  =  \{x1\}  \mcup{}  X  -1  THENA  Auto)

---

Home Index