---

Step * 1 1 of Lemma free-dlwc-satisfies-constraints


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ x ∈ c)
5. x : T
6. c : fset(T)
7. c ∈ Cs[x]
8. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider({ac:fset(fset(T))| 
                                       (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} )
9. v : fset(fset(T))
10. ↑fset-antichain(eq;v)
11. fset-all(v;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))
12. ∀[x:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} ]
      v ≤ x supposing x ∈ λx.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)"(c)
13. a : fset(T)
14. a ∈ v
⊢ False
BY
{ (Assert ¬c ⊆ a BY
         ((D 0 THENA Auto)
          THEN (InstLemma `fset-all-iff` [⌜fset(T)⌝;⌜deq-fset(eq)⌝]⋅ THENA Auto)
          THEN (RWO  "-1" 11 THENA Auto)
          THEN InstHyp [⌜a⌝] 11⋅
          THEN Auto
          THEN (RWO "assert-fset-contains-none" (-1) THENA Auto)
          THEN InstHyp [⌜x⌝;⌜c⌝] (-1)⋅
          THEN Auto
          THEN BackThruHyp' (-3)
          THEN Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ x ∈ c)
5. x : T
6. c : fset(T)
7. c ∈ Cs[x]
8. deq-fset(deq-fset(eq)) ∈ EqDecider({ac:fset(fset(T))| 
                                       (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} )
9. v : fset(fset(T))
10. ↑fset-antichain(eq;v)
11. fset-all(v;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))
12. ∀[x:{ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} ]
      v ≤ x supposing x ∈ λx.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)"(c)
13. a : fset(T)
14. a ∈ v
15. ¬c ⊆ a
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  Cs  :  T  {}\mrightarrow{}  fset(fset(T))
4.  \mforall{}x:T.  \mforall{}c:fset(T).    (c  \mmember{}  Cs[x]  {}\mRightarrow{}  x  \mmember{}  c)
5.  x  :  T
6.  c  :  fset(T)
7.  c  \mmember{}  Cs[x]
8.  deq-fset(deq-fset(eq))  \mmember{}  EqDecider(\{ac:fset(fset(T))| 
                                                                              (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))
                                                                              \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\}  )
9.  v  :  fset(fset(T))
10.  \muparrow{}fset-antichain(eq;v)
11.  fset-all(v;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))
12.  \mforall{}[x:\{ac:fset(fset(T))| 
                  (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\}  ]
            v  \mleq{}  x  supposing  x  \mmember{}  \mlambda{}x.free-dlwc-inc(eq;a.Cs[a];x)"(c)
13.  a  :  fset(T)
14.  a  \mmember{}  v
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
(Assert  \mneg{}c  \msubseteq{}  a  BY
              ((D  0  THENA  Auto)
                THEN  (InstLemma  `fset-all-iff`  [\mkleeneopen{}fset(T)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}deq-fset(eq)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (RWO    "-1"  11  THENA  Auto)
                THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  11\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  (RWO  "assert-fset-contains-none"  (-1)  THENA  Auto)
                THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
                THEN  Auto
                THEN  BackThruHyp'  (-3)
                THEN  Auto))

---

Home Index