---

Step * 2 1 1 1 of Lemma lattice-extend-wc-meet


1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
10. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
⊢ \/(λls./\(ls)"(f-union(deq-fset(eqL);deq-fset(eqL);λxs.f"(xs)"(a);as.λbs.as ⋃ bs"(λxs.f"(xs)"(b))))) 
  ≤ \/(λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"
                   (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. λs.fset-contains-none(eq;s;x.Cs[x])))))
BY
{ (Using [`eq',⌜eqL⌝] (BLemma_o (ioid Obid: lattice-fset-join_functionality_wrt_subset2))⋅
   THEN Auto
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN RenameVar `x' (-1)
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. T : Type
2. eq : EqDecider(T)
3. Cs : T ⟶ fset(fset(T))
4. L : BoundedDistributiveLattice
5. eqL : EqDecider(Point(L))
6. f : T ⟶ Point(L)
7. ∀x:T. ∀c:fset(T).  (c ∈ Cs[x] ⇒ (/\(f"(c)) = 0 ∈ Point(L)))
8. a : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
9. b : {ac:fset(fset(T))| (↑fset-antichain(eq;ac)) ∧ fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))} 
10. ∀[s:fset(fset(T))]. (λls./\(ls)"(λxs.f"(xs)"(s)) = λx./\(f"(x))"(s) ∈ fset(Point(L)))
11. x : Point(L)
12. x ∈ λls./\(ls)"(f-union(deq-fset(eqL);deq-fset(eqL);λxs.f"(xs)"(a);as.λbs.as ⋃ bs"(λxs.f"(xs)"(b))))
⊢ x ∈ {0} ⋃ λls./\(ls)"
            (λxs.f"(xs)"
             (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.λbs.as ⋃ bs"(b) s.t. λs.fset-contains-none(eq;s;x.Cs[x]))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(T)
3.  Cs  :  T  {}\mrightarrow{}  fset(fset(T))
4.  L  :  BoundedDistributiveLattice
5.  eqL  :  EqDecider(Point(L))
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  Point(L)
7.  \mforall{}x:T.  \mforall{}c:fset(T).    (c  \mmember{}  Cs[x]  {}\mRightarrow{}  (/\mbackslash{}(f"(c))  =  0))
8.  a  :  \{ac:fset(fset(T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
9.  b  :  \{ac:fset(fset(T))| 
                (\muparrow{}fset-antichain(eq;ac))  \mwedge{}  fset-all(ac;a.fset-contains-none(eq;a;x.Cs[x]))\} 
10.  \mforall{}[s:fset(fset(T))].  (\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(\mlambda{}xs.f"(xs)"(s))  =  \mlambda{}x./\mbackslash{}(f"(x))"(s))
\mvdash{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"(f-union(deq-fset(eqL);deq-fset(eqL);\mlambda{}xs.f"(xs)"(a);as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"
                                                                                                                                              (\mlambda{}xs.f"(xs)"(b))))) 
    \mleq{}  \mbackslash{}/(\mlambda{}ls./\mbackslash{}(ls)"
              (\mlambda{}xs.f"(xs)"
                (f-union(deq-fset(eq);deq-fset(eq);a;as.\mlambda{}bs.as  \mcup{}  bs"(b)  s.t.  \mlambda{}s....))))


By

---

Latex:
(Using  [`eq',\mkleeneopen{}eqL\mkleeneclose{}]  (BLemma\_o  (ioid  Obid:  lattice-fset-join\_functionality\_wrt\_subset2))\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  RenameVar  `x'  (-1)
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index