---

Step * 2 1 1 of Lemma mk-bounded-distributive-lattice-from-order


1. T : Type
2. m : T ⟶ T ⟶ T
3. j : T ⟶ T ⟶ T
4. z : T
5. o : T
6. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
7. Order(T;x,y.R[x;y])
∧ (∀[a,b:T].  least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
∧ (∀[a,b:T].  greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
∧ (∀[a:T]. R[a;o])
∧ (∀[a:T]. R[z;a])
∧ (∀[a,b,c:T].  (m[a;j[b;c]] = j[m[a;b];m[a;c]] ∈ T))
⊢ lattice-axioms(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o))
BY
{ BLemma `lattice-axioms-from-order`  }

1
.....wf..... 
1. T : Type
2. m : T ⟶ T ⟶ T
3. j : T ⟶ T ⟶ T
4. z : T
5. o : T
6. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
7. Order(T;x,y.R[x;y])
∧ (∀[a,b:T].  least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
∧ (∀[a,b:T].  greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
∧ (∀[a:T]. R[a;o])
∧ (∀[a:T]. R[z;a])
∧ (∀[a,b,c:T].  (m[a;j[b;c]] = j[m[a;b];m[a;c]] ∈ T))
⊢ mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o) ∈ LatticeStructure

2
1. T : Type
2. m : T ⟶ T ⟶ T
3. j : T ⟶ T ⟶ T
4. z : T
5. o : T
6. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
7. Order(T;x,y.R[x;y])
∧ (∀[a,b:T].  least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
∧ (∀[a,b:T].  greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
∧ (∀[a:T]. R[a;o])
∧ (∀[a:T]. R[z;a])
∧ (∀[a,b,c:T].  (m[a;j[b;c]] = j[m[a;b];m[a;c]] ∈ T))
⊢ ∃R:Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o)) ⟶ Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o)) ⟶ ℙ
   (((∀[a,b:Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o))].
        least-upper-bound(Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o));x,y.R[x;y];a;b;a ∨ b))
   ∧ (∀[a,b:Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o))].
        greatest-lower-bound(Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o));x,y.R[x;y];a;b;a ∧ b)))
   ∧ Order(Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o));x,y.R[x;y]))

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  m  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T
3.  j  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T
4.  z  :  T
5.  o  :  T
6.  R  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  Order(T;x,y.R[x;y])
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b:T].    least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b:T].    greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
\mwedge{}  (\mforall{}[a:T].  R[a;o])
\mwedge{}  (\mforall{}[a:T].  R[z;a])
\mwedge{}  (\mforall{}[a,b,c:T].    (m[a;j[b;c]]  =  j[m[a;b];m[a;c]]))
\mvdash{}  lattice-axioms(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o))


By

---

Latex:
BLemma  `lattice-axioms-from-order` 

---

Home Index