---

Step * of Lemma mk-bounded-distributive-lattice-from-order

∀[T:Type]. ∀[m,j:T ⟶ T ⟶ T]. ∀[z,o:T]. ∀[R:T ⟶ T ⟶ ℙ].
  {points=T;
   meet=m;
   join=j;
   0=z;
   1=o} ∈ BoundedDistributiveLattice 
  supposing Order(T;x,y.R[x;y])
  ∧ (∀[a,b:T].  least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
  ∧ (∀[a,b:T].  greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
  ∧ (∀[a:T]. R[a;o])
  ∧ (∀[a:T]. R[z;a])
  ∧ (∀[a,b,c:T].  (m[a;j[b;c]] = j[m[a;b];m[a;c]] ∈ T))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto) THEN Unfold `mk-bounded-distributive-lattice` 0 THEN MemTypeCD) }

1
1. T : Type
2. m : T ⟶ T ⟶ T
3. j : T ⟶ T ⟶ T
4. z : T
5. o : T
6. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
7. Order(T;x,y.R[x;y])
∧ (∀[a,b:T].  least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
∧ (∀[a,b:T].  greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
∧ (∀[a:T]. R[a;o])
∧ (∀[a:T]. R[z;a])
∧ (∀[a,b,c:T].  (m[a;j[b;c]] = j[m[a;b];m[a;c]] ∈ T))
⊢ mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o) ∈ BoundedLatticeStructure

2
.....set predicate..... 
1. T : Type
2. m : T ⟶ T ⟶ T
3. j : T ⟶ T ⟶ T
4. z : T
5. o : T
6. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
7. Order(T;x,y.R[x;y])
∧ (∀[a,b:T].  least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
∧ (∀[a,b:T].  greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
∧ (∀[a:T]. R[a;o])
∧ (∀[a:T]. R[z;a])
∧ (∀[a,b,c:T].  (m[a;j[b;c]] = j[m[a;b];m[a;c]] ∈ T))
⊢ (lattice-axioms(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o)) ∧ bounded-lattice-axioms(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o)))
∧ (∀[a,b,c:Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o))].  (a ∧ b ∨ c = a ∧ b ∨ a ∧ c ∈ Point(mk-bounded-lattice(T;m;j;z;o))))

3
.....wf..... 
1. T : Type
2. m : T ⟶ T ⟶ T
3. j : T ⟶ T ⟶ T
4. z : T
5. o : T
6. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
7. Order(T;x,y.R[x;y])
∧ (∀[a,b:T].  least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
∧ (∀[a,b:T].  greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
∧ (∀[a:T]. R[a;o])
∧ (∀[a:T]. R[z;a])
∧ (∀[a,b,c:T].  (m[a;j[b;c]] = j[m[a;b];m[a;c]] ∈ T))
8. l : BoundedLatticeStructure
⊢ (lattice-axioms(l) ∧ bounded-lattice-axioms(l)) ∧ (∀[a,b,c:Point(l)].  (a ∧ b ∨ c = a ∧ b ∨ a ∧ c ∈ Point(l))) ∈ Type

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[m,j:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  T].  \mforall{}[z,o:T].  \mforall{}[R:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    \{points=T;
      meet=m;
      join=j;
      0=z;
      1=o\}  \mmember{}  BoundedDistributiveLattice 
    supposing  Order(T;x,y.R[x;y])
    \mwedge{}  (\mforall{}[a,b:T].    least-upper-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;j[a;b]))
    \mwedge{}  (\mforall{}[a,b:T].    greatest-lower-bound(T;x,y.R[x;y];a;b;m[a;b]))
    \mwedge{}  (\mforall{}[a:T].  R[a;o])
    \mwedge{}  (\mforall{}[a:T].  R[z;a])
    \mwedge{}  (\mforall{}[a,b,c:T].    (m[a;j[b;c]]  =  j[m[a;b];m[a;c]]))


By

---

Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  Unfold  `mk-bounded-distributive-lattice`  0  THEN  MemTypeCD)

---

Home Index