---

Step * of Lemma sum-in-vs-split

∀[n,m,k:ℤ]. ∀[K:Rng]. ∀[vs:VectorSpace(K)]. ∀[f:{n..m + 1-} ⟶ Point(vs)].
  Σ{f[i] | n≤i≤m} = Σ{f[i] | n≤i≤k} + Σ{f[i] | k + 1≤i≤m} ∈ Point(vs) supposing (n ≤ k) ∧ (k ≤ m)
BY
{ (Auto
   THEN Unfold `sum-in-vs` 0
   THEN (Subst' [n, m + 1) ~ [n, k + 1) + [k + 1, m + 1) 0 THENA (Unfold `bag-append` 0 THEN EAuto 1))
   THEN (Assert [n, k + 1) ∈ bag({n..m + 1-}) BY
               Auto)
   THEN (Assert [k + 1, m + 1) ∈ bag({n..m + 1-}) BY
               Auto)
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[n,m,k:\mBbbZ{}].  \mforall{}[K:Rng].  \mforall{}[vs:VectorSpace(K)].  \mforall{}[f:\{n..m  +  1\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  Point(vs)].
    \mSigma{}\{f[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}m\}  =  \mSigma{}\{f[i]  |  n\mleq{}i\mleq{}k\}  +  \mSigma{}\{f[i]  |  k  +  1\mleq{}i\mleq{}m\}  supposing  (n  \mleq{}  k)  \mwedge{}  (k  \mleq{}  m)


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  Unfold  `sum-in-vs`  0
  THEN  (Subst'  [n,  m  +  1)  \msim{}  [n,  k  +  1)  +  [k  +  1,  m  +  1)  0  THENA  (Unfold  `bag-append`  0  THEN  EAuto  1))
  THEN  (Assert  [n,  k  +  1)  \mmember{}  bag(\{n..m  +  1\msupminus{}\})  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  [k  +  1,  m  +  1)  \mmember{}  bag(\{n..m  +  1\msupminus{}\})  BY
                          Auto)
  THEN  Auto)

---

Home Index