---

Step * 1 of Lemma pscm-ap-id-type


1. C : SmallCategory
2. Gamma : ps_context{j:l}(C)
3. A : A:I:cat-ob(C) ⟶ Gamma(I) ⟶ Type × (I:cat-ob(C)
                                           ⟶ J:cat-ob(C)
                                           ⟶ f:(cat-arrow(C) J I)
                                           ⟶ a:Gamma(I)
                                           ⟶ (A I a)
                                           ⟶ (A J f(a)))
4. let A,F = A 
   in (∀I:cat-ob(C). ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.  ((F I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:Gamma(I). ∀u:A I a.
           ((F I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K cat-comp(C) K J I g f(a))))
⊢ A
= (A)1(Gamma)
∈ (A:I:cat-ob(C) ⟶ Gamma(I) ⟶ Type × (I:cat-ob(C)
                                       ⟶ J:cat-ob(C)
                                       ⟶ f:(cat-arrow(C) J I)
                                       ⟶ a:Gamma(I)
                                       ⟶ (A I a)
                                       ⟶ (A J f(a))))
BY
{ (D 3
   THEN (Assert Gamma ∈ ps_context{j:l}(C) BY
               Trivial)
   THEN RepeatFor 2 (D 2)
   THEN All Reduce
   THEN RepUR ``pscm-ap-type pscm-id pscm-ap`` 0
   THEN RepUR ``presheaf-type`` 0
   THEN All (RepUR ``I_set functor-ob``)
   THEN EqCD
   THEN Auto
   THEN RepeatFor 2 ((Ext THEN Reduce 0 THEN Auto))) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  Gamma  :  ps\_context\{j:l\}(C)
3.  A  :  A:I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  Gamma(I)  {}\mrightarrow{}  Type  \mtimes{}  (I:cat-ob(C)
                                                                                      {}\mrightarrow{}  J:cat-ob(C)
                                                                                      {}\mrightarrow{}  f:(cat-arrow(C)  J  I)
                                                                                      {}\mrightarrow{}  a:Gamma(I)
                                                                                      {}\mrightarrow{}  (A  I  a)
                                                                                      {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a)))
4.  let  A,F  =  A 
      in  (\mforall{}I:cat-ob(C).  \mforall{}a:Gamma(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  (cat-id(C)  I)  a  u)  =  u))
            \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  J  I.  \mforall{}g:cat-arrow(C)  K  J.  \mforall{}a:Gamma(I).  \mforall{}u:A  I  a.
                      ((F  I  K  (cat-comp(C)  K  J  I  g  f)  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u))))
\mvdash{}  A  =  (A)1(Gamma)


By

---

Latex:
(D  3
  THEN  (Assert  Gamma  \mmember{}  ps\_context\{j:l\}(C)  BY
                          Trivial)
  THEN  RepeatFor  2  (D  2)
  THEN  All  Reduce
  THEN  RepUR  ``pscm-ap-type  pscm-id  pscm-ap``  0
  THEN  RepUR  ``presheaf-type``  0
  THEN  All  (RepUR  ``I\_set  functor-ob``)
  THEN  EqCD
  THEN  Auto
  THEN  RepeatFor  2  ((Ext  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)))

---

Home Index