---

Step * of Lemma subset-presheaf-type

No Annotations
∀[C:SmallCategory]. ∀[X,Y:ps_context{j:l}(C)].  {X ⊢ _} ⊆r {Y ⊢ _} supposing sub_ps_context{j:l}(C; Y; X)
BY
{ (InstLemma `subset-I_set` []
   THEN RepeatFor 4 (ParallelLast')
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (InstLemma `ps-subset-restriction` [⌜C⌝;⌜X⌝;⌜Y⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Unfold `sub_ps_context` 4
   THEN (Assert ⌜(x)1(Y) = x ∈ {Y ⊢ _}⌝⋅ THENM Eq)
   THEN ((BLemma `presheaf-type-equal` THEN Try (Trivial)) THENL [Auto; Auto; (PscmUnfolding THEN EqCDA)])) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. Y : ps_context{j:l}(C)
4. 1(Y) ∈ psc_map{j:l}(C; Y; X)
5. ∀I:cat-ob(C). (Y(I) ⊆r X(I))
6. A : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
7. x1 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
8. let A,F = <A, x1> 
   in (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
           ((F I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K cat-comp(C) K J I g f(a))))
9. ∀[I,J:cat-ob(C)]. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[a:Y(I)].  (f(a) = f(a) ∈ X(J))
⊢ (λI,a. (A I a)) = A ∈ (I:cat-ob(C) ⟶ Y(I) ⟶ Type)

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. Y : ps_context{j:l}(C)
4. 1(Y) ∈ psc_map{j:l}(C; Y; X)
5. ∀I:cat-ob(C). (Y(I) ⊆r X(I))
6. A : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
7. x1 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
8. let A,F = <A, x1> 
   in (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
           ((F I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K cat-comp(C) K J I g f(a))))
9. ∀[I,J:cat-ob(C)]. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[a:Y(I)].  (f(a) = f(a) ∈ X(J))
⊢ (λI,J,f,a,u. (x1 I J f a u))
= x1
∈ (I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:Y(I) ⟶ ((λI,a. (A I a)) I a) ⟶ ((λI,a. (A I a)) J f(a)))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[C:SmallCategory].  \mforall{}[X,Y:ps\_context\{j:l\}(C)].
    \{X  \mvdash{}  \_\}  \msubseteq{}r  \{Y  \mvdash{}  \_\}  supposing  sub\_ps\_context\{j:l\}(C;  Y;  X)


By

---

Latex:
(InstLemma  `subset-I\_set`  []
  THEN  RepeatFor  4  (ParallelLast')
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `ps-subset-restriction`  [\mkleeneopen{}C\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}Y\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `sub\_ps\_context`  4
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(x)1(Y)  =  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENM  Eq)
  THEN  ((BLemma  `presheaf-type-equal`  THEN  Try  (Trivial))
              THENL  [Auto;  Auto;  (PscmUnfolding  THEN  EqCDA)]
  ))

---

Home Index