---

Step * 1 of Lemma subset-presheaf-type

.....subterm..... T:t
1:n
1. C : SmallCategory
2. X : ps_context{j:l}(C)
3. Y : ps_context{j:l}(C)
4. 1(Y) ∈ psc_map{j:l}(C; Y; X)
5. ∀I:cat-ob(C). (Y(I) ⊆r X(I))
6. A : I:cat-ob(C) ⟶ X(I) ⟶ Type
7. x1 : I:cat-ob(C) ⟶ J:cat-ob(C) ⟶ f:(cat-arrow(C) J I) ⟶ a:X(I) ⟶ (A I a) ⟶ (A J f(a))
8. let A,F = <A, x1> 
   in (∀I:cat-ob(C). ∀a:X(I). ∀u:A I a.  ((F I I (cat-id(C) I) a u) = u ∈ (A I a)))
      ∧ (∀I,J,K:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) J I. ∀g:cat-arrow(C) K J. ∀a:X(I). ∀u:A I a.
           ((F I K (cat-comp(C) K J I g f) a u) = (F J K g f(a) (F I J f a u)) ∈ (A K cat-comp(C) K J I g f(a))))
9. ∀[I,J:cat-ob(C)]. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[a:Y(I)].  (f(a) = f(a) ∈ X(J))
⊢ (λI,a. (A I a)) = A ∈ (I:cat-ob(C) ⟶ Y(I) ⟶ Type)
BY
{ (RepeatFor 2 ((FunExt THENA Auto)) THEN Reduce 0 THEN InstHyp [⌜I⌝] (-3)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:
.....subterm.....  T:t
1:n
1.  C  :  SmallCategory
2.  X  :  ps\_context\{j:l\}(C)
3.  Y  :  ps\_context\{j:l\}(C)
4.  1(Y)  \mmember{}  psc\_map\{j:l\}(C;  Y;  X)
5.  \mforall{}I:cat-ob(C).  (Y(I)  \msubseteq{}r  X(I))
6.  A  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  X(I)  {}\mrightarrow{}  Type
7.  x1  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  J:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  f:(cat-arrow(C)  J  I)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (A  I  a)  {}\mrightarrow{}  (A  J  f(a))
8.  let  A,F  =  <A,  x1> 
      in  (\mforall{}I:cat-ob(C).  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A  I  a.    ((F  I  I  (cat-id(C)  I)  a  u)  =  u))
            \mwedge{}  (\mforall{}I,J,K:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  J  I.  \mforall{}g:cat-arrow(C)  K  J.  \mforall{}a:X(I).  \mforall{}u:A  I  a.
                      ((F  I  K  (cat-comp(C)  K  J  I  g  f)  a  u)  =  (F  J  K  g  f(a)  (F  I  J  f  a  u))))
9.  \mforall{}[I,J:cat-ob(C)].  \mforall{}[f:cat-arrow(C)  J  I].  \mforall{}[a:Y(I)].    (f(a)  =  f(a))
\mvdash{}  (\mlambda{}I,a.  (A  I  a))  =  A


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  ((FunExt  THENA  Auto))  THEN  Reduce  0  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index