---

Step * 1 2 1 of Lemma in-some-half-cube


1. k : ℕ
2. x : ℝ^k
3. c : ℚCube(k)
4. ∀i:ℕk. ((rat2real(fst((c i))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(snd((c i)))))
5. ∀i:ℕk
     (((rat2real(fst((c i))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(qavg(fst((c i));snd((c i))))))
     ∨ ((rat2real(qavg(fst((c i));snd((c i)))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(snd((c i))))))
⊢ ∃h:ℚCube(k). ((↑is-half-cube(k;h;c)) ∧ in-rat-cube(k;x;h))
BY
{ (((RenameVar `d' (-1)
     THEN D 0 With ⌜λi.if isl(d i)
                       then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))>
                       else <qavg(fst((c i));snd((c i))), snd((c i))>
                       fi ⌝ 
     )
    THENW Auto
    )
   THEN D 0
   ) }

1
1. k : ℕ
2. x : ℝ^k
3. c : ℚCube(k)
4. ∀i:ℕk. ((rat2real(fst((c i))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(snd((c i)))))
5. d : ∀i:ℕk
         (((rat2real(fst((c i))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(qavg(fst((c i));snd((c i))))))
         ∨ ((rat2real(qavg(fst((c i));snd((c i)))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(snd((c i))))))
⊢ ↑is-half-cube(k;λi.if isl(d i)
                     then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))>
                     else <qavg(fst((c i));snd((c i))), snd((c i))>
                     fi ;c)

2
1. k : ℕ
2. x : ℝ^k
3. c : ℚCube(k)
4. ∀i:ℕk. ((rat2real(fst((c i))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(snd((c i)))))
5. d : ∀i:ℕk
         (((rat2real(fst((c i))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(qavg(fst((c i));snd((c i))))))
         ∨ ((rat2real(qavg(fst((c i));snd((c i)))) ≤ (x i)) ∧ ((x i) ≤ rat2real(snd((c i))))))
⊢ in-rat-cube(k;x;λi.if isl(d i)
                     then <fst((c i)), qavg(fst((c i));snd((c i)))>
                     else <qavg(fst((c i));snd((c i))), snd((c i))>
                     fi )

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  x  :  \mBbbR{}\^{}k
3.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
4.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  ((rat2real(fst((c  i)))  \mleq{}  (x  i))  \mwedge{}  ((x  i)  \mleq{}  rat2real(snd((c  i)))))
5.  \mforall{}i:\mBbbN{}k
          (((rat2real(fst((c  i)))  \mleq{}  (x  i))  \mwedge{}  ((x  i)  \mleq{}  rat2real(qavg(fst((c  i));snd((c  i))))))
          \mvee{}  ((rat2real(qavg(fst((c  i));snd((c  i))))  \mleq{}  (x  i))  \mwedge{}  ((x  i)  \mleq{}  rat2real(snd((c  i))))))
\mvdash{}  \mexists{}h:\mBbbQ{}Cube(k).  ((\muparrow{}is-half-cube(k;h;c))  \mwedge{}  in-rat-cube(k;x;h))


By

---

Latex:
(((RenameVar  `d'  (-1)
      THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}i.if  isl(d  i)
                                          then  <fst((c  i)),  qavg(fst((c  i));snd((c  i)))>
                                          else  <qavg(fst((c  i));snd((c  i))),  snd((c  i))>
                                          fi  \mkleeneclose{} 
      )
    THENW  Auto
    )
  THEN  D  0
  )

---

Home Index