---

Step * 1 2 1 1 1 of Lemma no-retraction-case-1


1. k : ℕ
2. K : 1-dim-complex
3. 0 < ||K||
4. f : |K| ⟶ |∂(K)|
5. f:FUN(|K|;|∂(K)|)
6. ∀a:|∂(K)|. f a ≡ a
7. ∀x:|∂(K)|. ∃i:ℕ||∂(K)||. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[i] j))))
8. g : x:|∂(K)| ⟶ ℕ||∂(K)||
9. ∀x:|∂(K)|. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[g x] j))))
10. ∀x,y:|∂(K)|.  (x ≡ y ⇒ ((g x) = (g y) ∈ ℤ))
11. ∀x,y:|K|.  (x ≡ y ⇒ ((g (f x)) = (g (f y)) ∈ ℤ))
12. c : ℚCube(k)
13. (c ∈ K)
⊢ ∃x:ℝ^k. ∀p:ℝ^k. ((¬¬in-rat-cube(k;p;c)) ⇒ f p ≡ x)
BY
{ ((Assert dim(c) = 1 ∈ ℤ BY
          (DVar `K' THEN Auto THEN RepeatFor 2 (D -1) THEN D 5 With ⌜i⌝  THEN Auto))
   THEN (RWO "rat-cube-dimension-one" (-1) THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. k : ℕ
2. K : 1-dim-complex
3. 0 < ||K||
4. f : |K| ⟶ |∂(K)|
5. f:FUN(|K|;|∂(K)|)
6. ∀a:|∂(K)|. f a ≡ a
7. ∀x:|∂(K)|. ∃i:ℕ||∂(K)||. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[i] j))))
8. g : x:|∂(K)| ⟶ ℕ||∂(K)||
9. ∀x:|∂(K)|. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[g x] j))))
10. ∀x,y:|∂(K)|.  (x ≡ y ⇒ ((g x) = (g y) ∈ ℤ))
11. ∀x,y:|K|.  (x ≡ y ⇒ ((g (f x)) = (g (f y)) ∈ ℤ))
12. c : ℚCube(k)
13. (c ∈ K)
14. i : ℕk
15. fst((c i)) < snd((c i))
16. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((fst((c j))) = (snd((c j))) ∈ ℚ))
⊢ ∃x:ℝ^k. ∀p:ℝ^k. ((¬¬in-rat-cube(k;p;c)) ⇒ f p ≡ x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  K  :  1-dim-complex
3.  0  <  ||K||
4.  f  :  |K|  {}\mrightarrow{}  |\mpartial{}(K)|
5.  f:FUN(|K|;|\mpartial{}(K)|)
6.  \mforall{}a:|\mpartial{}(K)|.  f  a  \mequiv{}  a
7.  \mforall{}x:|\mpartial{}(K)|.  \mexists{}i:\mBbbN{}||\mpartial{}(K)||.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real(fst((\mpartial{}(K)[i]  j))))
8.  g  :  x:|\mpartial{}(K)|  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||\mpartial{}(K)||
9.  \mforall{}x:|\mpartial{}(K)|.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real(fst((\mpartial{}(K)[g  x]  j))))
10.  \mforall{}x,y:|\mpartial{}(K)|.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  ((g  x)  =  (g  y)))
11.  \mforall{}x,y:|K|.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  x))  =  (g  (f  y))))
12.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
13.  (c  \mmember{}  K)
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}\^{}k.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}k.  ((\mneg{}\mneg{}in-rat-cube(k;p;c))  {}\mRightarrow{}  f  p  \mequiv{}  x)


By

---

Latex:
((Assert  dim(c)  =  1  BY
                (DVar  `K'  THEN  Auto  THEN  RepeatFor  2  (D  -1)  THEN  D  5  With  \mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}    THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "rat-cube-dimension-one"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index