---

Step * 1 2 1 1 1 1 of Lemma no-retraction-case-1


1. k : ℕ
2. K : 1-dim-complex
3. 0 < ||K||
4. f : |K| ⟶ |∂(K)|
5. f:FUN(|K|;|∂(K)|)
6. ∀a:|∂(K)|. f a ≡ a
7. ∀x:|∂(K)|. ∃i:ℕ||∂(K)||. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[i] j))))
8. g : x:|∂(K)| ⟶ ℕ||∂(K)||
9. ∀x:|∂(K)|. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[g x] j))))
10. ∀x,y:|∂(K)|.  (x ≡ y ⇒ ((g x) = (g y) ∈ ℤ))
11. ∀x,y:|K|.  (x ≡ y ⇒ ((g (f x)) = (g (f y)) ∈ ℤ))
12. c : ℚCube(k)
13. (c ∈ K)
14. i : ℕk
15. fst((c i)) < snd((c i))
16. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((fst((c j))) = (snd((c j))) ∈ ℚ))
⊢ ∃x:ℝ^k. ∀p:ℝ^k. ((¬¬in-rat-cube(k;p;c)) ⇒ f p ≡ x)
BY
{ (Assert ∀x:{x:ℝ| x ∈ [rat2real(fst((c i))), rat2real(snd((c i)))]} 
            (λj.if (j =z i) then x else rat2real(fst((c j))) fi  ∈ |K|) BY
         ((D 0 THENA Auto)
          THEN D -1
          THEN (Assert λj.if (j =z i) then x else rat2real(fst((c j))) fi  ∈ ℝ^k BY
                      (Unfold `real-vec` 0 THEN MemCD THEN Auto))
          THEN MemTypeCD
          THEN Auto
          THEN (RemoveDoubleNegation THENA Auto)
          THEN UnfoldTopAb (-7)
          THEN ParallelOp -7
          THEN D -7
          THEN (RWO "-7<" 0 THENA Auto)
          THEN RepUR ``i-member`` -2
          THEN Reduce -2
          THEN (D 0 THEN Reduce 0)
          THEN Try (AutoSplit)
          THEN Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. K : 1-dim-complex
3. 0 < ||K||
4. f : |K| ⟶ |∂(K)|
5. f:FUN(|K|;|∂(K)|)
6. ∀a:|∂(K)|. f a ≡ a
7. ∀x:|∂(K)|. ∃i:ℕ||∂(K)||. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[i] j))))
8. g : x:|∂(K)| ⟶ ℕ||∂(K)||
9. ∀x:|∂(K)|. req-vec(k;x;λj.rat2real(fst((∂(K)[g x] j))))
10. ∀x,y:|∂(K)|.  (x ≡ y ⇒ ((g x) = (g y) ∈ ℤ))
11. ∀x,y:|K|.  (x ≡ y ⇒ ((g (f x)) = (g (f y)) ∈ ℤ))
12. c : ℚCube(k)
13. (c ∈ K)
14. i : ℕk
15. fst((c i)) < snd((c i))
16. ∀j:ℕk. ((¬(j = i ∈ ℤ)) ⇒ ((fst((c j))) = (snd((c j))) ∈ ℚ))
17. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [rat2real(fst((c i))), rat2real(snd((c i)))]} 
      (λj.if (j =z i) then x else rat2real(fst((c j))) fi  ∈ |K|)
⊢ ∃x:ℝ^k. ∀p:ℝ^k. ((¬¬in-rat-cube(k;p;c)) ⇒ f p ≡ x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  K  :  1-dim-complex
3.  0  <  ||K||
4.  f  :  |K|  {}\mrightarrow{}  |\mpartial{}(K)|
5.  f:FUN(|K|;|\mpartial{}(K)|)
6.  \mforall{}a:|\mpartial{}(K)|.  f  a  \mequiv{}  a
7.  \mforall{}x:|\mpartial{}(K)|.  \mexists{}i:\mBbbN{}||\mpartial{}(K)||.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real(fst((\mpartial{}(K)[i]  j))))
8.  g  :  x:|\mpartial{}(K)|  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||\mpartial{}(K)||
9.  \mforall{}x:|\mpartial{}(K)|.  req-vec(k;x;\mlambda{}j.rat2real(fst((\mpartial{}(K)[g  x]  j))))
10.  \mforall{}x,y:|\mpartial{}(K)|.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  ((g  x)  =  (g  y)))
11.  \mforall{}x,y:|K|.    (x  \mequiv{}  y  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  x))  =  (g  (f  y))))
12.  c  :  \mBbbQ{}Cube(k)
13.  (c  \mmember{}  K)
14.  i  :  \mBbbN{}k
15.  fst((c  i))  <  snd((c  i))
16.  \mforall{}j:\mBbbN{}k.  ((\mneg{}(j  =  i))  {}\mRightarrow{}  ((fst((c  j)))  =  (snd((c  j)))))
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}\^{}k.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}k.  ((\mneg{}\mneg{}in-rat-cube(k;p;c))  {}\mRightarrow{}  f  p  \mequiv{}  x)


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [rat2real(fst((c  i))),  rat2real(snd((c  i)))]\} 
                    (\mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  x  else  rat2real(fst((c  j)))  fi    \mmember{}  |K|)  BY
              ((D  0  THENA  Auto)
                THEN  D  -1
                THEN  (Assert  \mlambda{}j.if  (j  =\msubz{}  i)  then  x  else  rat2real(fst((c  j)))  fi    \mmember{}  \mBbbR{}\^{}k  BY
                                        (Unfold  `real-vec`  0  THEN  MemCD  THEN  Auto))
                THEN  MemTypeCD
                THEN  Auto
                THEN  (RemoveDoubleNegation  THENA  Auto)
                THEN  UnfoldTopAb  (-7)
                THEN  ParallelOp  -7
                THEN  D  -7
                THEN  (RWO  "-7<"  0  THENA  Auto)
                THEN  RepUR  ``i-member``  -2
                THEN  Reduce  -2
                THEN  (D  0  THEN  Reduce  0)
                THEN  Try  (AutoSplit)
                THEN  Auto))

---

Home Index