---

Step * 1 1 2 1 2 of Lemma real-ball-uniform-continuity


1. k : ℕ
2. n : ℕ+
3. f : B(n;r1) ⟶ ℝ^k
4. ∀x,y:B(n;r1).  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. f1 : FUN(B(n;r1) ⟶ [r(-1), r1]^n)
7. g : FUN([r(-1), r1]^n ⟶ B(n;r1))
8. ∀x:B(n;r1). g (f1 x) ≡ x
9. ∀y:[r(-1), r1]^n. f1 (g y) ≡ y
10. B : ℕ+
11. ∀x1,x2:B(n;r1).  (mdist(max-metric(n);f1 x1;f1 x2) ≤ (r(B) * mdist(rn-metric(n);x1;x2)))
12. ∀f:{f:[r(-1), r1]^n ⟶ ℝ^k| ∀x,y:[r(-1), r1]^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} . ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
      ∃d:ℕ+. ∀x,y:[r(-1), r1]^n.  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f x;f y) ≤ e))
13. f o g ∈ {f:[r(-1), r1]^n ⟶ ℝ^k| ∀x,y:[r(-1), r1]^n.  (req-vec(n;x;y) ⇒ req-vec(k;f x;f y))} 
14. d : ℕ+
15. ∀x,y:[r(-1), r1]^n.  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d))) ⇒ (d(f (g x);f (g y)) ≤ e))
16. d2 : ℕ+
17. ∀x,y:B(n;r1).  ((d(x;y) ≤ (r1/r(d2))) ⇒ (d(f1 x;f1 y) ≤ (r1/r(d))))
18. x : B(n;r1)
19. ∀y:B(n;r1). ((d(x;y) ≤ (r1/r(d2))) ⇒ (d(f1 x;f1 y) ≤ (r1/r(d))))
20. y : B(n;r1)
21. d(x;y) ≤ (r1/r(d2))
22. d(f1 x;f1 y) ≤ (r1/r(d))
23. d(f (g (f1 x));f (g (f1 y))) ≤ e
⊢ req-vec(n;x;g (f1 x))
BY
{ ((D 8 With ⌜x⌝  THENA Auto) THEN (RWO "rn-metric-meq" (-1) THEN Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN EAuto 1) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  f  :  B(n;r1)  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}k
4.  \mforall{}x,y:B(n;r1).    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(k;f  x;f  y))
5.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
6.  f1  :  FUN(B(n;r1)  {}\mrightarrow{}  [r(-1),  r1]\^{}n)
7.  g  :  FUN([r(-1),  r1]\^{}n  {}\mrightarrow{}  B(n;r1))
8.  \mforall{}x:B(n;r1).  g  (f1  x)  \mequiv{}  x
9.  \mforall{}y:[r(-1),  r1]\^{}n.  f1  (g  y)  \mequiv{}  y
10.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  \mforall{}x1,x2:B(n;r1).    (mdist(max-metric(n);f1  x1;f1  x2)  \mleq{}  (r(B)  *  mdist(rn-metric(n);x1;x2)))
12.  \mforall{}f:\{f:[r(-1),  r1]\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}k|  \mforall{}x,y:[r(-1),  r1]\^{}n.    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(k;f  x;f  y))\}  .
        \mforall{}e:\{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  .
            \mexists{}d:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x,y:[r(-1),  r1]\^{}n.    ((d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d)))  {}\mRightarrow{}  (d(f  x;f  y)  \mleq{}  e))
13.  f  o  g  \mmember{}  \{f:[r(-1),  r1]\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}k|  \mforall{}x,y:[r(-1),  r1]\^{}n.    (req-vec(n;x;y)  {}\mRightarrow{}  req-vec(k;f  x;f  y))\} 
14.  d  :  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  \mforall{}x,y:[r(-1),  r1]\^{}n.    ((d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d)))  {}\mRightarrow{}  (d(f  (g  x);f  (g  y))  \mleq{}  e))
16.  d2  :  \mBbbN{}\msupplus{}
17.  \mforall{}x,y:B(n;r1).    ((d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d2)))  {}\mRightarrow{}  (d(f1  x;f1  y)  \mleq{}  (r1/r(d))))
18.  x  :  B(n;r1)
19.  \mforall{}y:B(n;r1).  ((d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d2)))  {}\mRightarrow{}  (d(f1  x;f1  y)  \mleq{}  (r1/r(d))))
20.  y  :  B(n;r1)
21.  d(x;y)  \mleq{}  (r1/r(d2))
22.  d(f1  x;f1  y)  \mleq{}  (r1/r(d))
23.  d(f  (g  (f1  x));f  (g  (f1  y)))  \mleq{}  e
\mvdash{}  req-vec(n;x;g  (f1  x))


By

---

Latex:
((D  8  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  (RWO  "rn-metric-meq"  (-1)  THEN  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  EAuto  1)

---

Home Index