---

Step * 1 1 1 2 of Lemma unit-balls-homeomorphic+


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . g p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
9. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
10. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
12. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
13. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . h p ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) p
14. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
15. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
16. x : {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
17. ¬(r0 < ||x||)
⊢ h (g x) ≡ x
BY
{ ((FLemma `not-rless` [-1] THENA Auto)
   THEN (Assert ||x|| = r0 BY
               (BLemma `rleq_antisymmetry` THEN Auto))
   THEN (Assert req-vec(n;x;λi.r0) BY
               EAuto 1)
   THEN (Assert g x ≡ λi.r0 BY
               (BackThruSomeHyp THEN Auto))
   THEN (Assert h (λi.r0) ≡ λi.r0 BY
               (BackThruSomeHyp THEN D 0 THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (Assert λi.r0 ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  BY
               ((MemTypeCD THEN Auto) THEN RWO "mdist-same" 0 THEN Auto))) }

1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p)} . g p ≡ (λp.(||p||/mdist(max-metric(n);p;λi.r0))*p) p
9. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
10. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
12. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
13. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . h p ≡ (λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p) p
14. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
15. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
16. x : {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
17. ¬(r0 < ||x||)
18. ||x|| ≤ r0
19. ||x|| = r0
20. req-vec(n;x;λi.r0)
21. g x ≡ λi.r0
22. h (λi.r0) ≡ λi.r0
23. λi.r0 ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
⊢ h (g x) ≡ x

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\} 
4.  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
8.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)\} 
          g  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(||p||/mdist(max-metric(n);p;\mlambda{}i.r0))*p)  p
9.  g  \mmember{}  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
10.  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
12.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
13.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  h  p  \mequiv{}  (\mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p)  p
14.  h  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
15.  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
16.  x  :  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
17.  \mneg{}(r0  <  ||x||)
\mvdash{}  h  (g  x)  \mequiv{}  x


By

---

Latex:
((FLemma  `not-rless`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  ||x||  =  r0  BY
                          (BLemma  `rleq\_antisymmetry`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  req-vec(n;x;\mlambda{}i.r0)  BY
                          EAuto  1)
  THEN  (Assert  g  x  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0  BY
                          (BackThruSomeHyp  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  h  (\mlambda{}i.r0)  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0  BY
                          (BackThruSomeHyp  THEN  D  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    BY
                          ((MemTypeCD  THEN  Auto)  THEN  RWO  "mdist-same"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index