---

Step * 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma unit-balls-homeomorphic+


1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
9. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. y : ℝ^n
15. [%24] : mdist(max-metric(n);λi.r0;y) ≤ r1
16. r0 < ||y||
17. h y ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y
18. λi.r0 ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
19. c : {c:ℝ| r0 < c} 
20. (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||) = c ∈ {c:ℝ| r0 < c} 
⊢ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;c*y)
BY
{ (Thin (-3) THEN (RWO "mdist-symm" 0 THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ+
2. λi.r0 ∈ ℝ^n
3. {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⊆r {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1} 
4. {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⊆r {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
5. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
6. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
7. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
8. g ∈ {p:ℝ^n| ||p|| ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
9. g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
10. h : ℝ^n ⟶ ℝ^n
11. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ h p ≡ λi.r0)
12. h ∈ {q:ℝ^n| mdist(max-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1}  ⟶ {q:ℝ^n| mdist(rn-metric(n);λi.r0;q) ≤ r1} 
13. h:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
14. y : ℝ^n
15. [%24] : mdist(max-metric(n);λi.r0;y) ≤ r1
16. r0 < ||y||
17. h y ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||)*y
18. c : {c:ℝ| r0 < c} 
19. (mdist(max-metric(n);λi.r0;y)/||y||) = c ∈ {c:ℝ| r0 < c} 
⊢ r0 < mdist(max-metric(n);c*y;λi.r0)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
3.  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\} 
4.  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    \msubseteq{}r  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
5.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
6.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
8.  g  \mmember{}  \{p:\mBbbR{}\^{}n|  ||p||  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
9.  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
10.  h  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
11.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  h  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
12.  h  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\}    {}\mrightarrow{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
13.  h:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
14.  y  :  \mBbbR{}\^{}n
15.  [\%24]  :  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)  \mleq{}  r1
16.  r0  <  ||y||
17.  h  y  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)/||y||)*y
18.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \{q:\mBbbR{}\^{}n|  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;q)  \mleq{}  r1\} 
19.  c  :  \{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
20.  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;y)/||y||)  =  c
\mvdash{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;c*y)


By

---

Latex:
(Thin  (-3)  THEN  (RWO  "mdist-symm"  0  THENA  Auto))

---

Home Index