---

Step * 2 2 1 1 1 1 1 of Lemma unit-cube-to-unit-ball


1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
13. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
14. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
15. r0 < ||x||
⊢ mdist(rn-metric(n);λi.r0;(mdist(max-metric(n);λi.r0;x)/||x||)*x) ≤ r1
BY
{ ((Assert r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;x) BY
          (BackThruSomeHyp THEN Auto))
   THEN (RWO "mdist-symm" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "mdist-rn-metric-mul" 0 THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConclTerm ⌜mdist(max-metric(n);λi.r0;x)⌝⋅
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
13. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
14. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
15. r0 < ||x||
16. v : ℝ
17. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) = v ∈ ℝ
18. r0 < v
⊢ (|(v/||x||)| * mdist(rn-metric(n);x;λi.r0)) ≤ r1

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
3.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
4.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
5.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  ((mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
6.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
8.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
9.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p
10.  \mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  ;\mBbbR{}\^{}n)  {}\mRightarrow{}  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
12.  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)  \mleq{}  r1
13.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
14.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p
15.  r0  <  ||x||
\mvdash{}  mdist(rn-metric(n);\mlambda{}i.r0;(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)/||x||)*x)  \mleq{}  r1


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)  BY
                (BackThruSomeHyp  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "mdist-symm"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "mdist-rn-metric-mul"  0  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index