---

Step * 2 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma unit-cube-to-unit-ball


1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
13. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
14. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
15. r0 < ||x||
16. v : ℝ
17. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) = v ∈ ℝ
18. r0 < v
⊢ (|(v/||x||)| * mdist(rn-metric(n);x;λi.r0)) ≤ r1
BY
{ ((Assert mdist(rn-metric(n);x;λi.r0) = ||x|| BY
          (RepUR ``mdist rn-metric`` 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   ) }

1
1. n : ℕ+
2. max-metric(n) ≤ rn-metric(n)
3. rn-metric(n) ≤ r(n)*max-metric(n)
4. ∀p:ℝ^n. (r0 < ||p|| ⇐⇒ r0 < mdist(max-metric(n);λi.r0;p))
5. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . ((mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p ∈ ℝ^n)
6. λi.r0 ∈ ℝ^n
7. g : ℝ^n ⟶ ℝ^n
8. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
9. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
10. λp.(mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p:FUN({p:ℝ^n| r0 < ||p||} ;ℝ^n) ⇒ g:FUN(ℝ^n;ℝ^n)
11. x : ℝ^n
12. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) ≤ r1
13. ∀p:ℝ^n. (req-vec(n;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ λi.r0)
14. ∀p:{p:ℝ^n| r0 < ||p||} . g p ≡ (mdist(max-metric(n);λi.r0;p)/||p||)*p
15. r0 < ||x||
16. v : ℝ
17. mdist(max-metric(n);λi.r0;x) = v ∈ ℝ
18. r0 < v
19. mdist(rn-metric(n);x;λi.r0) = ||x||
⊢ (|(v/||x||)| * ||x||) ≤ r1

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  max-metric(n)  \mleq{}  rn-metric(n)
3.  rn-metric(n)  \mleq{}  r(n)*max-metric(n)
4.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (r0  <  ||p||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  r0  <  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p))
5.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  ((mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n)
6.  \mlambda{}i.r0  \mmember{}  \mBbbR{}\^{}n
7.  g  :  \mBbbR{}\^{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}\^{}n
8.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
9.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p
10.  \mlambda{}p.(mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p:FUN(\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  ;\mBbbR{}\^{}n)  {}\mRightarrow{}  g:FUN(\mBbbR{}\^{}n;\mBbbR{}\^{}n)
11.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
12.  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)  \mleq{}  r1
13.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}n.  (req-vec(n;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  \mlambda{}i.r0)
14.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}n|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  (mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;p)/||p||)*p
15.  r0  <  ||x||
16.  v  :  \mBbbR{}
17.  mdist(max-metric(n);\mlambda{}i.r0;x)  =  v
18.  r0  <  v
\mvdash{}  (|(v/||x||)|  *  mdist(rn-metric(n);x;\mlambda{}i.r0))  \mleq{}  r1


By

---

Latex:
((Assert  mdist(rn-metric(n);x;\mlambda{}i.r0)  =  ||x||  BY
                (RepUR  ``mdist  rn-metric``  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  )

---

Home Index