---

Step * of Lemma Cauchy-Schwarz2-strict

∀n:ℕ. ∀x,y:ℕn ⟶ ℝ.
  (∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
  ⇐⇒ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}
      * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}))
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN CaseNat 0 `n' ) }

1
1. n : ℕ
2. n = 0 ∈ ℤ
⊢ ∀x,y:ℕ0 ⟶ ℝ.
    (∃i,j:ℕ0. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
    ⇐⇒ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤0 - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤0 - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤0 - 1}
        * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤0 - 1}))

2
1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∀x,y:ℕn ⟶ ℝ.
    (∃i,j:ℕn. x[j] * y[i] ≠ x[i] * y[j]
    ⇐⇒ (Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1} * Σ{x[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}) < (Σ{x[i] * x[i] | 0≤i≤n - 1}
        * Σ{y[i] * y[i] | 0≤i≤n - 1}))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    (\mexists{}i,j:\mBbbN{}n.  x[j]  *  y[i]  \mneq{}  x[i]  *  y[j]
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}  *  \mSigma{}\{x[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\})  <  (\mSigma{}\{x[i]  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}
            *  \mSigma{}\{y[i]  *  y[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)  THEN  CaseNat  0  `n'  )

---

Home Index