---

Step * 1 2 2 1 1 2 1 1 1 of Lemma Raabe-lemma

.....assertion..... 
1. y : ℕ ⟶ ℝ
2. c : ℝ
3. r0 < c
4. N : ℕ+
5. ∀n:{N...}. (r0 < y[n])
6. ∀n:{N...}. (c ≤ (r(n) * ((y[n]/y[n + 1]) - r1)))
7. k : ℕ+
8. ∀n:{N...}. y[n] ≠ r0
9. ∀d:ℕ. ((r1 + (c * Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (d - 1)})) ≤ (y[N]/y[N + d]))
10. d : ℕ
11. (y[N] * r(k)/c) ≤ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (d - 1)}
12. n : ℕ
13. (N + d) ≤ n
14. (r1 + (c * Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤n - 1})) ≤ (y[N]/y[n])
⊢ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (d - 1)} ≤ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤n - 1}
BY
{ CaseNat 0 `d' }

1
1. y : ℕ ⟶ ℝ
2. c : ℝ
3. r0 < c
4. N : ℕ+
5. ∀n:{N...}. (r0 < y[n])
6. ∀n:{N...}. (c ≤ (r(n) * ((y[n]/y[n + 1]) - r1)))
7. k : ℕ+
8. ∀n:{N...}. y[n] ≠ r0
9. ∀d:ℕ. ((r1 + (c * Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (d - 1)})) ≤ (y[N]/y[N + d]))
10. d : ℕ
11. (y[N] * r(k)/c) ≤ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (d - 1)}
12. n : ℕ
13. (N + d) ≤ n
14. (r1 + (c * Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤n - 1})) ≤ (y[N]/y[n])
15. d = 0 ∈ ℤ
⊢ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (0 - 1)} ≤ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤n - 1}

2
1. y : ℕ ⟶ ℝ
2. c : ℝ
3. r0 < c
4. N : ℕ+
5. ∀n:{N...}. (r0 < y[n])
6. ∀n:{N...}. (c ≤ (r(n) * ((y[n]/y[n + 1]) - r1)))
7. k : ℕ+
8. ∀n:{N...}. y[n] ≠ r0
9. ∀d:ℕ. ((r1 + (c * Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (d - 1)})) ≤ (y[N]/y[N + d]))
10. d : ℕ
11. (y[N] * r(k)/c) ≤ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (d - 1)}
12. n : ℕ
13. (N + d) ≤ n
14. (r1 + (c * Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤n - 1})) ≤ (y[N]/y[n])
15. ¬(d = 0 ∈ ℤ)
⊢ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤N + (d - 1)} ≤ Σ{(r1/r(k)) | N≤k≤n - 1}

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  y  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  c  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  c
4.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  \mforall{}n:\{N...\}.  (r0  <  y[n])
6.  \mforall{}n:\{N...\}.  (c  \mleq{}  (r(n)  *  ((y[n]/y[n  +  1])  -  r1)))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  \mforall{}n:\{N...\}.  y[n]  \mneq{}  r0
9.  \mforall{}d:\mBbbN{}.  ((r1  +  (c  *  \mSigma{}\{(r1/r(k))  |  N\mleq{}k\mleq{}N  +  (d  -  1)\}))  \mleq{}  (y[N]/y[N  +  d]))
10.  d  :  \mBbbN{}
11.  (y[N]  *  r(k)/c)  \mleq{}  \mSigma{}\{(r1/r(k))  |  N\mleq{}k\mleq{}N  +  (d  -  1)\}
12.  n  :  \mBbbN{}
13.  (N  +  d)  \mleq{}  n
14.  (r1  +  (c  *  \mSigma{}\{(r1/r(k))  |  N\mleq{}k\mleq{}n  -  1\}))  \mleq{}  (y[N]/y[n])
\mvdash{}  \mSigma{}\{(r1/r(k))  |  N\mleq{}k\mleq{}N  +  (d  -  1)\}  \mleq{}  \mSigma{}\{(r1/r(k))  |  N\mleq{}k\mleq{}n  -  1\}


By

---

Latex:
CaseNat  0  `d'

---

Home Index