---

Step * 2 1 1 of Lemma Raabe-test


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. lim n→∞.r(n) * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)))))))
⇒ Σn.x[n]↓
3. (∃N:ℕ
     ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
     ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
     ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑))
⇒ Σn.x[n]↑
4. L : ℝ
5. ∀n:ℕ. (r0 < x[n])
6. r1 < L
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < (L - r1)
9. r0 < (L - r1 - (r1/r(k)))
10. N : ℕ
11. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1)) - L| ≤ (r1/r(k))))
12. ∀n:{N + 1...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n]))
13. n : {N + 1...}
14. r0 < r(n)
15. r0 < x[n + 1]
⊢ (L - r1 - (r1/r(k))) ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1))
BY
{ ((Assert |(r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1)) - L| ≤ (r1/r(k)) BY
          Auto)
   THEN RWO "rabs-difference-bound-rleq" (-1)
   THEN Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. lim n→∞.r(n) * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)))))))
⇒ Σn.x[n]↓
3. (∃N:ℕ
     ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
     ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
     ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑))
⇒ Σn.x[n]↑
4. L : ℝ
5. ∀n:ℕ. (r0 < x[n])
6. r1 < L
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < (L - r1)
9. r0 < (L - r1 - (r1/r(k)))
10. N : ℕ
11. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1)) - L| ≤ (r1/r(k))))
12. ∀n:{N + 1...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n]))
13. n : {N + 1...}
14. r0 < r(n)
15. r0 < x[n + 1]
16. (L - (r1/r(k))) ≤ (r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1))
17. (r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1)) ≤ (L + (r1/r(k)))
⊢ (L - r1 - (r1/r(k))) ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.r(n)  *  x[n]  =  r0
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
          \mexists{}N:\mBbbN{}
            ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (c  \mleq{}  ((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1)))))))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
3.  (\mexists{}N:\mBbbN{}
          ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
          \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  (((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1))  \mleq{}  r0))
          \mwedge{}  \mSigma{}n.(r1/r(N  +  n))\muparrow{}))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\muparrow{}
4.  L  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (r0  <  x[n])
6.  r1  <  L
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (r1/r(k))  <  (L  -  r1)
9.  r0  <  (L  -  r1  -  (r1/r(k)))
10.  N  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|(r(n)  *  ((x[n]/x[n  +  1])  -  r1))  -  L|  \mleq{}  (r1/r(k))))
12.  \mforall{}n:\{N  +  1...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n]))
13.  n  :  \{N  +  1...\}
14.  r0  <  r(n)
15.  r0  <  x[n  +  1]
\mvdash{}  (L  -  r1  -  (r1/r(k)))  \mleq{}  ((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1))


By

---

Latex:
((Assert  |(r(n)  *  ((x[n]/x[n  +  1])  -  r1))  -  L|  \mleq{}  (r1/r(k))  BY
                Auto)
  THEN  RWO  "rabs-difference-bound-rleq"  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index