---

Step * 3 1 1 of Lemma Raabe-test


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. lim n→∞.r(n) * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)))))))
⇒ Σn.x[n]↓
3. (∃N:ℕ
     ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
     ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
     ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑))
⇒ Σn.x[n]↑
4. L : ℝ
5. ∀n:ℕ. (r0 < x[n])
6. (r1 < L) ⇒ Σn.x[n]↓
7. L < r1
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < (r1 - L)
10. N : ℕ
11. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1)) - L| ≤ (r1/r(k))))
12. ∀n:{N + 1...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n]))
13. n : {N + 1...}
14. r0 < x[n + 1]
⊢ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0
BY
{ (InstHyp [⌜n⌝] (-4)⋅ THENA Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. lim n→∞.r(n) * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)))))))
⇒ Σn.x[n]↓
3. (∃N:ℕ
     ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
     ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
     ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑))
⇒ Σn.x[n]↑
4. L : ℝ
5. ∀n:ℕ. (r0 < x[n])
6. (r1 < L) ⇒ Σn.x[n]↓
7. L < r1
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < (r1 - L)
10. N : ℕ
11. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1)) - L| ≤ (r1/r(k))))
12. ∀n:{N + 1...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n]))
13. n : {N + 1...}
14. r0 < x[n + 1]
15. |(r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1)) - L| ≤ (r1/r(k))
⊢ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.r(n)  *  x[n]  =  r0
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
          \mexists{}N:\mBbbN{}
            ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (c  \mleq{}  ((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1)))))))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
3.  (\mexists{}N:\mBbbN{}
          ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
          \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  (((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1))  \mleq{}  r0))
          \mwedge{}  \mSigma{}n.(r1/r(N  +  n))\muparrow{}))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\muparrow{}
4.  L  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (r0  <  x[n])
6.  (r1  <  L)  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
7.  L  <  r1
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  (r1/r(k))  <  (r1  -  L)
10.  N  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|(r(n)  *  ((x[n]/x[n  +  1])  -  r1))  -  L|  \mleq{}  (r1/r(k))))
12.  \mforall{}n:\{N  +  1...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n]))
13.  n  :  \{N  +  1...\}
14.  r0  <  x[n  +  1]
\mvdash{}  ((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1))  \mleq{}  r0


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index