---

Step * 1 2 1 1 of Lemma Riemann-sum-alt-req


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (x = y) ⇒ ((f y) = (f x)))@i
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. ∀i:ℕk. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ [a, b])
⊢ Σ{(b - a/r(k)) * (f ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k))) | 0≤i≤k - 1}
= Σ{(f full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i])
  * (full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i + 1] 
    - full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i]) | 0≤i≤||full-partition([a, b];uniform-partition(...;k))|| 
  - 2}
BY
{ Subst' ||full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))|| - 2 ~ k - 1 0 }

1
.....equality..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (x = y) ⇒ ((f y) = (f x)))@i
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. ∀i:ℕk. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ [a, b])
⊢ ||full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))|| - 2 ~ k - 1

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ [a, b]) ⇒ (x = y) ⇒ ((f y) = (f x)))@i
6. k : ℕ+
7. icompact([a, b])
8. ∀i:ℕk. (((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k)) ∈ [a, b])
⊢ Σ{(b - a/r(k)) * (f ((r(k - i) * a) + (r(i) * b)/r(k))) | 0≤i≤k - 1}
= Σ{(f full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i])
  * (full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i + 1] 
    - full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))[i]) | 0≤i≤k - 1}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  y)  =  (f  x)))@i
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  icompact([a,  b])
8.  \mforall{}i:\mBbbN{}k.  (((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k))  \mmember{}  [a,  b])
\mvdash{}  \mSigma{}\{(b  -  a/r(k))  *  (f  ((r(k  -  i)  *  a)  +  (r(i)  *  b)/r(k)))  |  0\mleq{}i\mleq{}k  -  1\}
=  \mSigma{}\{(f  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))[i])
    *  (full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))[i  +  1] 
        -  full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))[i])  |  0\mleq{}i\mleq{}||full-partition([a,  b];...)|| 
    -  2\}


By

---

Latex:
Subst'  ||full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))||  -  2  \msim{}  k  -  1  0

---

Home Index