---

Step * 2 of Lemma Riemann-sum-refinement


1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b@i
4. icompact([a, b])
5. icompact(i-approx([a, b];1))
6. f : [a, b] ⟶ℝ@i
7. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
8. k : ℕ+@i
9. n : ℕ+@i
10. partition-mesh([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ≤ (mc 1 n)@i
11. m : ℕ+@i
12. ∀p:partition([a, b]). ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
    ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))).
      (p refines uniform-partition([a, b];k)
      ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))) 
         - partition-sum(f;x;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(n)) * |[a, b]|)))
⊢ |Riemann-sum(f;a;b;k) - Riemann-sum(f;a;b;m * k)| ≤ ((r1/r(n)) * (b - a))
BY
{ (InstHyp [⌜uniform-partition([a, b];m * k)⌝
            ; ⌜default-partition-choice(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];m * k)))⌝
           ; ⌜default-partition-choice(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)))⌝] (-1)⋅
   THENA Auto
   ) }

1
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b@i
4. icompact([a, b])
5. icompact(i-approx([a, b];1))
6. f : [a, b] ⟶ℝ@i
7. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
8. k : ℕ+@i
9. n : ℕ+@i
10. partition-mesh([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ≤ (mc 1 n)@i
11. m : ℕ+@i
12. ∀p:partition([a, b]). ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
    ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))).
      (p refines uniform-partition([a, b];k)
      ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))) 
         - partition-sum(f;x;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(n)) * |[a, b]|)))
⊢ frs-non-dec(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];m * k)))

2
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b@i
4. icompact([a, b])
5. icompact(i-approx([a, b];1))
6. f : [a, b] ⟶ℝ@i
7. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
8. k : ℕ+@i
9. n : ℕ+@i
10. partition-mesh([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ≤ (mc 1 n)@i
11. m : ℕ+@i
12. ∀p:partition([a, b]). ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
    ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))).
      (p refines uniform-partition([a, b];k)
      ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))) 
         - partition-sum(f;x;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(n)) * |[a, b]|)))
⊢ frs-non-dec(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)))

3
1. a : ℝ@i
2. b : ℝ@i
3. a < b@i
4. icompact([a, b])
5. icompact(i-approx([a, b];1))
6. f : [a, b] ⟶ℝ@i
7. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]@i
8. k : ℕ+@i
9. n : ℕ+@i
10. partition-mesh([a, b];uniform-partition([a, b];k)) ≤ (mc 1 n)@i
11. m : ℕ+@i
12. ∀p:partition([a, b]). ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
    ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))).
      (p refines uniform-partition([a, b];k)
      ⇒ (|partition-sum(f;y;full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k))) 
         - partition-sum(f;x;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(n)) * |[a, b]|)))
13. |partition-sum(f;default-partition-choice(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k)));...) 
- partition-sum(f;default-partition-choice(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];m
* k)));full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];m * k)))| ≤ ((r1/r(n)) * |[a, b]|)
⊢ |Riemann-sum(f;a;b;k) - Riemann-sum(f;a;b;m * k)| ≤ ((r1/r(n)) * (b - a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}@i
2.  b  :  \mBbbR{}@i
3.  a  <  b@i
4.  icompact([a,  b])
5.  icompact(i-approx([a,  b];1))
6.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
7.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]@i
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
9.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
10.  partition-mesh([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))  \mleq{}  (mc  1  n)@i
11.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
12.  \mforall{}p:partition([a,  b]).  \mforall{}x:partition-choice(full-partition([a,  b];p)).
        \mforall{}y:partition-choice(full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))).
            (p  refines  uniform-partition([a,  b];k)
            {}\mRightarrow{}  (|partition-sum(f;y;full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k))) 
                  -  partition-sum(f;x;full-partition([a,  b];p))|  \mleq{}  ((r1/r(n))  *  |[a,  b]|)))
\mvdash{}  |Riemann-sum(f;a;b;k)  -  Riemann-sum(f;a;b;m  *  k)|  \mleq{}  ((r1/r(n))  *  (b  -  a))


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}uniform-partition([a,  b];m  *  k)\mkleeneclose{}
                    ;  \mkleeneopen{}default-partition-choice(full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];m  *  k)))\mkleeneclose{}
                  ;  \mkleeneopen{}default-partition-choice(full-partition([a,  b];uniform-partition([a,  b];k)))\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
  THENA  Auto
  )

---

Home Index